Aclarar qué métrica cuenta como espacio plano

1) OP pregunta sobre el uso de la palabra métrica plana . Significa una métrica pseudo-Riemanniana (de firma arbitraria) cuyo tensor de curvatura Levi-Civita Riemann correspondiente se desvanece.

2) Sin embargo, la palabra espacio euclidiano puede causar confusión entre matemáticos y físicos. Para un matemático, un espacio euclidiano siempre es un espacio afín , mientras que los físicos a menudo lo usan como otra palabra para la variedad de Riemann , que no es necesariamente afín.

En resumen, la palabra euclidiana se refiere para un físico a una firma positiva (típicamente en oposición a la firma de Minkowski ), mientras que un matemático usa la palabra euclidiana para referirse a una estructura afín.

Un matemático llama a una variedad pseudo-riemanniana con la firma de Minkowski una variedad lorentziana .

Si usa diferentes unidades en diferentes coordenadas y si usa una unidad diferente en la métrica de distancia, los elementos diagonales de la matriz métrica pueden diferir de$1$. Por ejemplo, si desea medir distancias en metros, pero usa pulgadas para el$x$dimensión y centímetros para el$y$dimensión, entonces la métrica 2D sería:

$$\begin{bmatrix} \mathrm{meters^2/inch^2} & 0 \\ 0 & \mathrm{meters^2/centimeter^2} \end{bmatrix}$$

Entonces, en general, los valores de la diagonal pueden diferir de$1$, pero es mucho más sensato usar las mismas unidades para$x, y$y la distancia y en ese caso los elementos diagonales serán todos$1$.

Ahora en el espacio-tiempo 4D de Minkowski$(t,x,y,z)$de nuestro universo, la métrica suele escribirse así:

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Y en este caso el$-1$es para la dirección del tiempo y es significativo. Eso no se puede cambiar a un$+1$y es lo que le da importancia a la velocidad de la luz; en particular, la luz siempre viaja una distancia "adecuada" de 0 en el espacio-tiempo 4D completo. Tenga en cuenta que una distancia total de 0 solo es posible si al menos uno de los elementos diagonales tiene el signo opuesto de los otros elementos diagonales. De hecho, el$-1$a menudo se escribe como$-c^2$que es solo otra indicación de que la unidad de medida del tiempo difiere de las unidades de las coordenadas espaciales. Nuevamente, usar las "mismas" unidades puede cambiar el elemento diagonal a$-1$en cambio.

Cuando decimos espacio "plano", puede significar algo más que espacio euclidiano. En relatividad, un espacio-tiempo plano es minkowskiano: tiene que haber alguna diferencia en los signos entre el de la coordenada temporal y el de las coordenadas espaciales.

Que el espacio tangente local sea euclidiano o minkowskiano depende en gran medida del contexto.