¡Felicidades! Se topó con una cuestión importante de geometría diferencial :

¿Cómo puedo saber si la curvatura se debe a mi elección de coordenadas o al espacio en el que vivo?

Como se mencionó en otras respuestas, la palabra "curvatura" se conoce como una propiedad del espacio, pero también como una propiedad de las coordenadas. Permítanme llamar a esta última "variación" en su lugar.

Para ilustrar ambos casos, imagina:

1. Estar en un espacio euclidiano "plano", pero usando coordenadas esféricas
2. Viviendo en la esfera, usando cualquier tipo de coordenadas.

En el primer caso, obviamente, un cambio a las coordenadas cartesianas elimina toda variación en sus coordenadas. En este último, puede elegir cualquier representación que desee: ¡no obtendrá coordenadas sin variación! Por ejemplo, cuanto más te acercas a los polos, tus coordenadas se ven obligadas a volverse "más densas", si es que deben permanecer continuas.

Esto significa que debe ser causado por el propio espacio: si las coordenadas no se ponen rectas, decimos que "el espacio tiene curvatura". También se dice que la curvatura es una “propiedad intrínseca del espacio”, lo que significa exactamente que esta propiedad no depende de su representación por coordenadas.

Para responder a su pregunta brevemente : No. Cuando decimos “el espacio-tiempo es curvo”, queremos decir “el espacio-tiempo tiene curvatura”, y no solo “las coordenadas varían”.

Algunas definiciones

Tenga en cuenta, sin embargo, que el vocabulario es extremadamente vago. Para ser más precisos, necesitamos usar los términos matemáticos: nuestro "espacio" o "espacio-tiempo" se convierte en una "variedad de Riemann", es decir, un conjunto matemático abstracto con algunas buenas propiedades y la capacidad de medir distancias localmente. Este último se denomina “campo tensor métrico” .

Las "coordenadas" son en realidad mapas de nuestro colector a$\mathbb R^n$, en el caso del espacio-tiempo$n=4$. Estés donde estés, encontrarás un mapa que te da un conjunto de números reales.

Una vez que introduce un mapa de coordenadas, tiene una base para el tensor métrico y puede representarlo mediante múltiples componentes que son números reales. Eso es extremadamente útil, ya que ahora podemos tomar derivados fácilmente (en las direcciones de nuestra base de coordenadas). Si estas derivadas son cero en todas partes, ya sabes que estás en un espacio plano.

Sin embargo, la “curvatura” no es tan fácil de definir. Necesitamos encontrar herramientas para medir el fracaso de nuestros mapas de coordenadas para volverse constantes. Afortunadamente, ha habido gente como Gauss y Riemann haciendo el trabajo duro por ti.

El enfoque de Gauss

El enfoque de Gauss es comparar cómo “crecen los círculos”. Si estás en una esfera, el "radio percibido" de un círculo es ligeramente mayor que el radio correspondiente a su circunferencia/área, por lo que sabes que estás en un espacio curvo. Más precisamente, en un espacio con curvatura positiva , ¡el radio también puede ser más corto de lo esperado! Considera una silla de montar. Dado que el círculo está "estirado", la circunferencia y el área son más grandes de lo esperado; este sería un ejemplo de curvatura negativa . Una bonita imagen mental para$n=2$es que si intentaste montar una hoja de papel, y observas que:

1. Se rasga: Curvatura negativa
2. Se ajusta muy bien: curvatura cero
3. Aprieta: Curvatura Positiva

El problema con el enfoque de Gauss es que, aunque es intuitivo cuando se mira desde "afuera" a la variedad, determinarlo desde adentro implica tomar un límite, y no es tan fácil de calcular y generalizar.

Bueno, no tan fácil como lo hizo Riemann al menos:

Enfoque de Riemann

Tome la esfera: uno de los efectos más famosos de la curvatura de nuestro mundo es el hecho de que puede abarcar un triángulo con ángulos$\frac \pi 2$solamente.

Otra posibilidad es el transporte paralelo: si toma un vector y va directamente hacia el polo norte, luego hacia la derecha hasta el ecuador, y hacia abajo, su vector se desplaza por$\frac\pi 2$.

Esto se puede generalizar: toma un vector, transpórtalo en paralelo una cierta distancia hacia arriba, una cierta distancia hacia la derecha, vuelve hacia abajo y hacia la izquierda. En un espacio plano, el vector no habría cambiado. Sin embargo, en un espacio curvo, observaríamos un cambio.

¡Ahora tenga en cuenta que la noción de "arriba" y "derecha" se puede generalizar fácilmente a la idea de seguir dos vectores de coordenadas! Esta es la Idea del Tensor de Riemann :

1. Toma un vector$w$
2. Transportarlo en la dirección del vector (en nuestro caso: un vector de coordenadas)$u$, después$v$
3. Transportar el mismo vector en la dirección de entonces$v$, después$u$, más un término de corrección que está ahí por razones técnicas
4. Observa cómo la diferencia de caminos hizo que nuestro vector fuera diferente.

Sin embargo, no del todo. Como el vector de desplazamiento depende de la distancia, y queremos definir localmente un valor de la curvatura, en este caso como una propiedad del punto, achicar la distancia hace que el vector de desplazamiento se acerque a cero. Así que nuestro argumento no es del todo correcto: estamos interesados ​​en el cambio lineal de dicho vector de desplazamiento al cambiar la distancia.

Podemos calcular la cantidad para cada par de$n$coordenadas (índices:$\mu, \nu$), y luego puede observar el$\rho$-componente de un vector unitario en dirección$\sigma$– denotemos esta cantidad por$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$. Tiene algunas simetrías, por lo que en realidad tenemos$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$componentes independientes (confío en wikipedia en eso). Este tensor se puede contraer a uno más pequeño sumando sobre el mismo$\rho$y$\mu$, dejando dos índices, que se pueden contradecir una vez más, dejando un escalar$R$, también conocido como Ricci Scalar , que es, sorpresa, en dos dimensiones el doble de la curvatura gaussiana. ¡Así que la curvatura de Riemann parece capturar la intuición correcta, no obstante!

La ecuación que viste arriba se puede reducir a las derivadas parciales primera y segunda del tensor métrico, lo cual es muy fácil de evaluar (al menos si conoces la forma cerrada). Recuerde que el tensor (y obviamente las contracciones derivadas como el escalar de Ricci) contienen muchos términos; calcular el tensor de Riemann es un ejercicio muy apreciado por el estudiante ansioso (o el pobre que desea aprobar una clase de geometría diferencial).

Resumen

Lo que se quiere decir es la curvatura intrínseca del espacio, lo que significa que es independiente de la elección de las coordenadas. Existen métodos inteligentes para determinar si y en qué medida su espacio se desvía del espacio euclidiano plano, a saber, la curvatura de Gauss y, lo que es más importante, el tensor de Riemann.

Ambos, en realidad. (por supuesto, estos son completamente diferentes, pero ambos se llaman "curvatura")

Las coordenadas son definitivamente curvas (es por eso que se llaman curvilíneas después de todo).

Pero hay una noción de curvatura independiente de las coordenadas para la geometría del espacio-tiempo. Esto viene dado por el tensor de curvatura de Riemann.

Probablemente sepas que es igual a cero en el espacio-tiempo plano. Tenga en cuenta cómo esto se mantiene en todos los sistemas de coordenadas, tanto curvilíneos como galileanos. Esto se debe a que las ecuaciones de tensor son covariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Por ello, se considera una propiedad del espacio-tiempo (ya que no depende de coordenadas). Hay una buena manera, independiente de las coordenadas, de tener una idea de lo que es la curvatura: cuando transporta un vector en paralelo a lo largo de una curva cerrada, la diferencia entre el vector original y el resultado de la transformación es distinta de cero en presencia de curvatura.

Independientemente del sistema de coordenadas utilizado, la materia curva el espacio.
Puede elegir el sistema de coordenadas "galileano", "riemmanniano", "einsteiniano", etc. que encuentre más útil, pero el hecho es que la materia curva el espacio .
Entonces, para responder a su pregunta, es el espacio el que está curvo, no las líneas de coordenadas .

Las coordenadas curvas en el espacio-tiempo plano corresponden a la aceleración de los observadores, no a la gravedad.

La primera idea física de la relatividad general es que cuando tienes gravedad, no tienes marcos inerciales globales; contrasta esto con el espacio plano, donde siempre puedes construir un sistema de coordenadas lineales. La segunda idea física es que tiene marcos inerciales locales, específicamente los de caída libre, este es el "principio de equivalencia", por lo que la variedad que usa para modelar el espacio-tiempo debe tener necesariamente planitud local. En consecuencia, las variedades (pseudo-)riemannianas se convierten en la forma correcta de modelar el espacio-tiempo en la relatividad general.

Esta es la razón por la que los símbolos de Christoffel también existen para los observadores que aceleran en el espacio-tiempo plano: son de primer orden en las derivadas de la métrica y, por lo tanto, pueden eliminarse transformándose en un sistema de coordenadas planas donde la métrica es constante (esto es bien porque los símbolos de Christoffel no son tensores). El tensor de curvatura de Riemann, por otro lado, es de segundo orden en las derivadas de la métrica y no puede eliminarse mediante una transformación de coordenadas.

La curvatura del espacio-tiempo no es una ley física, es simplemente un modelo muy poderoso y práctico que introdujo Einstein para el trabajo con las ecuaciones de campo de Einstein.

Una aplicación principal del espacio-tiempo curvo es la métrica de Schwarzschild.

Por el contrario, la métrica de Minkowski correspondiente (con espacio-tiempo plano) es

dónde$\mathrm dt$es el tiempo sin curvas y$\mathrm dr$es un desplazamiento radial no curvo.

Comparando ambos, encuentra que en la métrica de Schwarzschild, el tiempo$\mathrm dt$se multiplica por la constante

Así que podemos describir la gravedad con coordenadas espaciales planas donde solo la dilatación del tiempo gravitatorio actuaría sobre la métrica plana. Pero como se mencionó anteriormente, la representación en forma de espacio-tiempo curvo se reveló como mucho más práctica, y es ampliamente preferida a la descripción en términos de espacio plano. Pero el espacio-tiempo curvo no es más que una elección de coordenadas.