Objetos en Física como los vería un matemático

La relatividad general es una teoría matemática que generaliza la teoría especial de la relatividad y la mecánica. Resulta que uno puede tratar los efectos gravitatorios como fuerzas no inerciales, gracias a uno de los principios que rigen esta teoría, que también se considera el más importante, a saber, el principio de equivalencia postulado por Einstein. Que la métrica del espacio-tiempo deba ser localmente plana, es decir minkowskiana, es una consecuencia de este principio. De hecho, el principio de equivalencia establece que en un marco de referencia en caída libre, es decir, una referencia donde no hay fuerzas de inercia, las leyes de la física son las de la relatividad especial. Como usted es matemático, no es necesario que le recuerde que si una variedad tiene un tensor de curvatura nulo,$g$, son exactamente los de la métrica de Minkowski$\eta = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$.

la métrica$g$en el múltiple$M$la descripción del espacio-tiempo no está dada a priori, sino que está determinada por la distribución de la materia. Ahora viene tu pregunta sobre los objetos de la relatividad general. Estos objetos son todo tipo de objetos geométricos que puede construir en una variedad (suave). Por lo tanto, tendrá tensores de cualquier rango e incluso espinores de cualquier rango. Lo que los convierte en objetos físicos es solo su interpretación. Las ecuaciones de campo de Einstein

dónde$\text{Ric}\in T^*M\otimes T^*M$es el tensor de Ricci,$g\in T^*M\otimes T^*M$la métrica en$M$, y$T\in T^*M\otimes T^*M$el tensor de energía-estrés, te da el mético$g$en términos de la distribución energía-materia$T$en$M$, eso es solo una densidad tensorial en$M$.

El problema matemático de estudiar las geodésicas en una variedad$M$descrito por una métrica$g$es el equivalente al problema físico de determinar el movimiento de una partícula que cae libremente en el campo gravitatorio generado por una distribución de materia$T$tal que la métrica resultante es$g$.

Una de las predicciones más espectaculares de la teoría general de la relatividad es la existencia de los llamados agujeros negros. De nuevo, encuentras estos objetos estudiando las propiedades matemáticas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein y luego les das una interpretación física. Hay algunas situaciones difíciles en física cuando no puedes basar tus teorías en observaciones y experimentos. Por lo tanto, debe comenzar con una teoría matemática y desarrollarla tanto como pueda. Cada resultado que obtiene se interpreta físicamente. Esta es bastante la situación de la relatividad general (ver, por ejemplo, el problema de la detección de ondas gravitacionales, o la observación de singularidades desnudas).

Ese conjunto de parámetros se suele denominar campos de materia . Contribuyen a GR en el "lado derecho" de la ecuación

Ya que mencionó que es matemático, permítame ser un poco más técnico y detallado. El espacio-tiempo viene dado por una variedad lorentziana$(M,g)$. Los campos de materia deben ser considerados como una colección$\{\Phi_A\}_{A\in \mathcal{A}}$dónde$\mathcal{A}$es un conjunto de indexación, con cada individuo$\Phi_A$ser una sección de algún haz de fibras$(E_A,M,\pi_A)$sobre$M$. (Existen posibilidades más generales para los campos de materia, pero centrémonos en ellas ahora.) Por ejemplo, el campo escalar está dado por un paquete lineal complejo trivial sobre$M$, mientras que la descripción habitual de la teoría del electromagnetismo de Maxwell admite la formulación del campo (el potencial vectorial) como una sección del haz cotangente$T^*M$.

La dinámica de los campos generalmente está prescrita por algunas ecuaciones de movimientos, y su contribución a la gravedad se toma como su contribución al tensor de momento de energía.

de tal manera que la condición

dónde$\nabla$es la derivada covariante de la métrica$g$Está satisfecho. (Esto se debe a que la identidad debe cumplirse para el lado izquierdo de la ecuación de Einstein de acuerdo con la identidad de Bianchi contraída).

Tenga en cuenta que la relatividad general en sí misma es una teoría de la gravedad. Realmente no especifica cuáles son los campos de asunto. Solo requiere que los campos de materia, cuando existan, tengan dinámicas que obedezcan la ley de conservación dada por la condición de divergencia en el tensor energía-momento. Para obtener un modelo físico real del mundo, tendrás que idear algunas reglas que rigen el comportamiento de los campos de materia. En la física moderna, esto es generalmente a través de algún tipo de principio de acción , ya que las ecuaciones de Euler-Lagrange serán automáticamente compatibles con la condición de divergencia anterior, si toma$T_{\mu\nu}$ser la tensión-energía de Einstein-Hilbert generada a partir del principio de acción.

En GR, los "objetos" (cualesquiera que sean para su problema) deben asignarse al tensor de energía de tensión, que las ecuaciones de campo GR relacionan con la curvatura de la variedad. Sin embargo, ese mapeo no es realmente parte de GR, pero seguramente es parte de la aplicación diaria de GR, aunque diferirá según el problema y el nivel de descripción de los objetos físicos que se utilice.

Un objeto físico introductorio que a menudo se usa como ejemplo en los textos introductorios de GR, hasta donde yo sé, es "polvo", para citar a Schutz: "'polvo' se define como una colección de partículas, todas las cuales están en reposo en algún un cuadro de Lorentz". Usted define una densidad de las partículas en un volumen, y el componente de flujo de momento$\alpha$de las partículas a través de cada superficie perpendicular de constante$\beta$en el espacio-tiempo es uno de los componentes del tensor tensión-energía$T^{\alpha\beta}$. Asi que$T^{00}$es la energía-componentes de las partículas de polvo a través de una superficie de tiempo constante, es decir, la densidad de energía.

A partir de ahí, puede seguir agregando objetos más complejos, como fluidos o campos electromagnéticos, etc., siempre que los asigne al tensor de tensión-energía.

Diría que, en lo que respecta a la relatividad general, "objeto" es un término bastante vacío. Lo que uno realmente está viendo es alguna perturbación en el tensor de tensión-energía. Las ecuaciones de Einstein (sin constante cosmológica) son$G_{\mu\nu}= \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$, que define una relación entre la curvatura de Einstein, y por tanto la métrica, y el tensor tensión-energía en un punto dado. Creo que este tensor es lo que son estos "parámetros" que está buscando, ya que define la densidad de energía, el flujo de energía, el esfuerzo cortante y la presión.

Los 'objetos' que son estudios en física relativista son los mismos que la gente estudia en física no relativista. Considere algunos ejemplos:

• Si le preocupa la mecánica relativista, puede considerar objetos extensos como barras de longitud L y calcular momentos de inercia. (Aquí el objeto es la varilla)

• Si está estudiando mecánica cuántica, estudiará la ecuación de Dirac en lugar de la ecuación de Schrodenger (aquí los objetos que se estudian son electrones)

• Si está estudiando mecánica estadística, puede estudiar la ecuación de estado utilizando un gas de fotones en lugar de un gas no relativista. (no si el objeto aquí se aplica a menos que estemos hablando de la colección de fotones en sí)

Las cosas básicas que se estudian siguen siendo las mismas cosas que estudiarías en física no relativista. Nada cambia realmente allí. Lo que sí cambia es la geometría de las multiplicidades subyacentes donde habitan los objetos de estudio. Esto generalmente agrega dos cosas, independientemente de si está hablando de relatividad especial o general:

• Términos adicionales en los potenciales usados ​​para describir interacciones entre los 'objetos'

• Términos adicionales en las ecuaciones de movimiento que surgen de la geometría del espacio-tiempo en el que viven los objetos.

La relatividad general sigue siendo física, así que mire primero a la física para comprender lo que está tratando de estudiar. Las preguntas que se hacen siguen siendo las mismas. Sé que a veces es difícil ver que cuando abres un libro que dice relatividad general y la discusión gira en torno a conexiones, curvatura, álgebra exterior, etc., pero los objetos de estudio siguen ahí, como afirmas correctamente. :) Mi sugerencia es abrir un libro de física básica y luego tratar de encontrar los análogos relativistas de lo que ves allí en libros más avanzados como Misner, Thorne y Wheeler's Gravitation o Robert Wald's General Relativity. Ambos tienen enfoques muy físicos de GR y puede que le resulte más fácil llegar a los 'objetos' de esa manera.

GR clásico solo puede estudiar objetos que pueden ser modelados por campos tensoriales (en la variedad lorentziana del espacio-tiempo). La métrica, por supuesto, es en sí misma un campo tensorial, y las Leyes de la Naturaleza tienen que adoptar la forma de equiparar dos campos tensoriales con las mismas propiedades de covarianza , es decir, del mismo tipo. Ahora sería bastante tonto si la métrica en sí no se usara en la ecuación, por lo que esto pone algunas limitaciones en la búsqueda de uno...

Si la materia se considera como una especie de distribución continua, como una densidad, puede ser bien modelada por el tensor de tensión-energía mencionado por los otros carteles. La hidrodinámica también se puede hacer bastante bien. Electromagnetismo, menos bien, pero algo se puede hacer. Entonces, para responder a su pregunta de manera muy directa, los únicos parámetros son las coordenadas de espacio y tiempo y los únicos objetos son estos campos tensoriales, y esto limita a GR de modo que no puede hacer un buen trabajo considerando los efectos cuánticos como las ondas o el giro. Las partículas clásicas pueden tratarse dejando que la densidad de la materia, considerada como una especie de «fluido» (creo que es una palabra mejor que polvo o polvo) de masa-energía, tenga algunas singularidades, definitivamente no las tienen .obtener cualquier tipo de parámetro propio. En este sentido, es muy parecida a la dinámica e hidrodinámica newtoniana y euleriana.