Espacio de Hilbert del oscilador armónico: ¿Contable vs incontable?

Esta pregunta me la hizo por primera vez un amigo mío; por las sutilezas involucradas, me encanta esta pregunta. :-)

El "defecto" es que no estás contando la dimensión con cuidado. Como han señalado otras respuestas,$\delta$-las funciones no son validas$\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$funciones, por lo que tenemos que definir una función kosher que da la$\delta$-funcionan como un caso límite. Esto se hace esencialmente considerando un regulador UV para sus funciones de onda en el espacio. Resolvamos el problema más simple de "partículas en una caja", en una red. La respuesta para el oscilador armónico será conceptualmente la misma. También tenga en cuenta que resolver el problema en una red de tamaño$a$es similar a considerar funciones rectangulares de ancho$a$y unidad de área, como versiones reguladas de$\delta$-funciones.

El corte de UV (resolución de posición más pequeña) se convierte en el momento máximo posible para la función de onda de la partícula y el corte de IR (aproximadamente el ancho máximo de la función de onda que corresponderá al tamaño de la caja) proporciona el cuanto de momento mínimo y, por lo tanto, la diferencia entre niveles. . Ahora puede ver que el número de estados (finito) es el mismo en base a la posición y al momento. La sutileza es cuando tomas el límite del pequeño espacio de celosía. Luego, el impulso máximo va a "infinito" mientras que la resolución de posición va a cero, ¡pero los estados de base de posición aún son contables!

En el caso del oscilador armónico, la dispersión del estado fundamental (máxima dispersión) debería corresponder al cuanto de cantidad de movimiento, es decir, el tamaño de la red en el espacio de cantidad de movimiento.

La intuición física

Cuando consideramos el conjunto de funciones de onda posibles, necesitamos que se comporten razonablemente , es decir, solo un número contable de discontinuidades. En efecto, tales funciones tienen solo un número contable de grados de libertad (a diferencia de las funciones que pueden comportarse muy mal). IIRC, esta es una de las condiciones necesarias para que una función sea transformable de Fourier.

ADDENDUM: Consulte la respuesta de @ tparker para obtener una buena explicación con un tratamiento un poco más riguroso que justifica por qué las funciones de onda solo tienen grados de libertad contables.

1. El espacio de Hilbert ${\cal H}$del oscilador armónico unidimensional en la representación de posición es el conjunto$L^2(\mathbb{R})={\cal L}^2(\mathbb{R})/{\cal N}$(de clases de equivalencia) de funciones cuadradas integrables $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$en la línea real. La relación de equivalencia es módulo de funciones medibles que se anulan ae

2. La distribución delta de Dirac $\delta(x-x_{0})$no es una función. Es una distribución . En particular, no es integrable al cuadrado, cf. esta publicación Phys.SE.

3. Se puede demostrar que todos los espacios de Hilbert complejos separables de dimensión infinita son isomorfos al conjunto

   $${\ell}^{2}(\mathbb{N})~:=~\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid\sum_{n\in\mathbb{N}} |x_n|^2 <\infty\right\}$$ de sucesiones complejas integrables cuadradas.

Todas las respuestas anteriores son correctas, pero pensé en dar una explicación más conceptual de por qué la base de la función delta es la base "incorrecta" en la que expandirse al contar los grados de libertad. Dado que la situación es mucho, mucho más complicada en QFT, por simplicidad solo consideraré funciones de onda cuantificadas en primer lugar para un sistema con un número fijo y finito de partículas, de modo que el espacio de configuración sea solo$\mathbb{R}^n$por algo finito$n$. (Si no sabe qué es el "espacio de configuración", todo lo que realmente importa para esta pregunta es que para un sistema de una sola partícula, es lo mismo que el espacio real).

Los físicos suelen decir que para estos sistemas, "el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R}^n)$es el espacio de funciones integrables al cuadrado en$\mathbb{R}^n$, con producto interior$\langle f | g \rangle := \int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ f^*({\bf x})\, g({\bf x}).$" ¡Pero esta definición es incorrecta, porque en realidad no es un producto interno válido en ese espacio! El problema es que viola el requisito de definición positiva para el producto interno que$||\psi|| = 0 \implies | \psi \rangle = 0$: si una función$f$se apoya en un conjunto no vacío de Lebesgue medida cero, entonces la "norma"$\int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ |f({\bf x})|^2 = 0$. Dado que esta "norma" es cero para algunos vectores distintos de cero, es más propiamente solo una seminorma en el espacio de funciones integrables al cuadrado en$\mathbb{R}^n$. Este espacio funcional se denota$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$(tenga en cuenta la escritura diferente para el "$\mathcal{L}$") y por lo tanto es sólo un espacio vectorial seminormado .

Para convertir$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$en un verdadero espacio de Hilbert, necesitamos modificarlo mediante el espacio vectorial de funciones cuyo soporte tiene la medida cero de Lebesgue. En otras palabras, definimos una relación de equivalencia$f \sim g$entre funciones$f({\bf x})$y$g({\bf x})$que concuerdan casi en todas partes, y luego definen el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R}^n)$ser el espacio de clases de equivalencia bajo esta relación de equivalencia. Así que dos funciones integrables al cuadrado$\psi({\bf x})$y$\phi({\bf x})$que son iguales en casi todas partes, pero difieren en un conjunto de medidas de Lebesgue cero, en realidad corresponden exactamente al mismo estado $|\psi\rangle$en el espacio de Hilbert. Esto soluciona el problema, porque ahora todas aquellas funciones problemáticas cuyo soporte tiene la medida cero de Lebesgue corresponden al vector cero del espacio de Hilbert, por lo que está bien que tengan norma cero.

Esto es más que un simple truco técnico que solo se realiza para satisfacer la definición matemática de un producto interno: en realidad es lo correcto físicamente. Recuerda que el valor de$|\psi({\bf x})|^2$en un punto particular${\bf x}$en realidad no es una probabilidad, es una densidad de probabilidad , que no es una cantidad directamente física. No puede medir directamente la densidad de probabilidad en un solo punto; solo puedes medir la probabilidad$P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2$para que una partícula se encuentre en una región (potencialmente muy pequeña) $V$. Pero si dos funciones de onda$\psi, \phi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$solo difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero, entonces$P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2 = \int_V d^nx\, |\phi({\bf x})|^2$será el mismo para cualquier región$V$. Por lo tanto, todas las cantidades medibles físicamente serán las mismas para estas dos funciones de onda, por lo que corresponden al mismo estado físico.$| \psi \rangle \in L^2(\mathbb{R}^n)$.

El punto de todo esto es que cualquier función de onda$\psi({\bf x})$lleva una gran cantidad de información adicional no física (más allá del factor de fase general, al que probablemente esté acostumbrado). Cambiar su valor en cualquier conjunto de puntos de la medida cero de Lebesgue en realidad no cambia el estado. La base de la función delta (incontable) es demasiado "fina" y selecciona todos estos grados de libertad no físicos irrelevantes. La base del estado propio del oscilador (contable), por otro lado, es mucho menos sensible a los detalles de la función de onda: cambiando$\psi({\bf x})$en cualquier conjunto de medidas de Lebesgue cero no cambia ninguno de los coeficientes de expansión$\langle \psi_n | \psi \rangle$. Por lo tanto, estos coeficientes solo registran información sobre los grados de libertad físicos, de los cuales solo hay muchos contables.

Por cierto, el espacio de Hilbert$L^2 \left( \mathbb{R}^d \right)$es lo mismo para la partícula libre que para el oscilador armónico, por lo que todo en esta respuesta se traslada directamente a la pregunta complementaria sobre el espacio de Hilbert de partículas libres.

Uno debe tener cuidado con lo que quiere decir con el "tamaño" de un espacio vectorial.

Un teorema de análisis funcional nos dice que dos bases de Hilbert cualesquiera para un espacio de Hilbert deben tener la misma cardinalidad. Esto nos permite definir la dimensión de Hilbert de un espacio de Hilbert como la cardinalidad de cualquier base de Hilbert.

El espacio de Hilbert para el oscilador armónico unidimensional es$L^2(\mathbb R)$. Sabemos que existe al menos una base ortonormal contable para$L^2(\mathbb R)$. Es la base que comúnmente llamamos$\{|0\rangle, |1\rangle, \dots\}$cuando se habla de la física del oscilador. Por lo tanto, la dimensión de Hilbert de$L^2(\mathbb R)$es$\aleph_0$.

Los deltas de Dirac no son elementos de$L^2(\mathbb R)$, por lo que no hay contradicción.