Comprensión matemática de la Mecánica Cuántica

Sí, los operadores en mecánica cuántica pueden entenderse básicamente como matrices infinitas,$|r\rangle$como vectores base y$\psi(r)\equiv \langle\psi|r\rangle \sim \psi_r \sim "\psi_i"$como componentes del vector de estado numerados por un índice continuo$r$.$\langle r|F|r'\rangle$son de hecho solo componentes matriciales del operador$F$.

Generalmente$\langle r|F|r'\rangle \neq f \delta(r-r')$. Para el caso$\langle r|F|r'\rangle = f \delta(r-r')$tendrías$\phi(r) = f \psi(r)$, es decir$F$sería justo$f$veces la identidad en el espacio vectorial mencionado.

Cuando tienes un operador hermiteno que conmuta con el operador de posición$R$, es decir$[F,R]=0$tiene los mismos vectores propios que$R$y será así será diagonal en el$|r\rangle$base de vectores propios. (La hermiticidad garantiza la no degeneración de los espacios propios). Todo esto es una extensión directa de las cosas que debe saber del álgebra lineal. En ese caso tienes$\langle r|F|r'\rangle = f(r) \delta(r-r')$, dónde$f(r_0)$es el valor propio de un vector$|r_0\rangle$.

Pero también puede tener diferentes operadores. Considere un operador de traducción$T_a$que hace$T_a|r\rangle = |r + a\rangle$. Obviamente$\langle r|T_a|r'\rangle = \delta(r-r'-a)$. No existe una receta general para encontrar$\langle r|F|r'\rangle$, porque todo depende de lo que$F$representa. de requerir$F$para representar algo físico, como el impulso o la posición, generalmente puede deducir cómo debería actuar sobre su base a través de ciertos procedimientos. (Me gusta cómo se hace esto en el capítulo 3 de Mecánica Cuántica de Ballentine )

Una vez más, puede recordar que no hay forma de conocer los coeficientes de la matriz sin al menos saber qué hace la matriz, y en la mayoría de los problemas solo se le dan los coeficientes en cierta base como una definición de la matriz misma. En este caso, generalmente se le dan los coeficientes o la acción de la matriz "por la física"; no es un problema completamente matemático.

En cierto sentido, lo que dijiste de que cada operador podría representarse en la representación de posición como un operador integral puede ser cierto para muchos operadores solo si permites que se usen distribuciones, y aunque ese no siempre es el caso.

Confundes un poco las cosas cuando dices sobre el dual de distribuciones. Lo que es una distribución es la representación de$|r\rangle$, que no es un vector del espacio de Hilbert$\mathcal{H}$, eso es$\langle x |r\rangle=\delta(r-x)$. El problema de usar esta notación es que le falta mucho rigor y a veces si no prestas atención te puedes meter en problemas.

Lo que puede ser difícil en general es encontrar la representación de posición de un operador. Por ejemplo, tome el propagador libre$U(t)=e^{-itH}$, con$H=-\Delta$siendo el hamiltoniano libre. Es posible demostrar que

$$U\psi(x)=(e^{-itH}\psi)(x)=\frac{1}{\sqrt {4\pi it}}\int_\Bbb{R} e^{i\frac{(x-y)^2}{4t}}\psi(y)dy,$$ lo que demuestra que $U(t)$puede representarse como un operador integral en representación de posición con kernel $K(x)=\dfrac{1}{\sqrt {4\pi it}}e^{i\frac{x^2}{4t}}$. Una forma de encontrar la representación de $F$es cambiar la base donde el operador es un operador de multiplicación. Esto siempre es posible si $F=f(T)$, dónde $f$es una función medible y $T$es un operador autoadjunto. En ese caso, el teorema espectral establece que $$F=\int_\Bbb{R} f(t)dP^T(t),$$ dónde $P^T$es la resolución de la identidad de $T$. En la práctica es posible escribir $F=U^{-1}fU$, dónde $U$es el mapa unitario que mapea la representación de posición a la base donde $T$es un operador diagonal. Por ejemplo, si $T=P$, el operador de cantidad de movimiento, entonces $U=\mathcal{F}$es la transformada de Fourier. Así que si quieres encontrar la representación de posición de una función $F=f(P)$puede proceder como: $$(F\psi)(x)=(\mathcal{F}^{-1}f(p)\mathcal{F}\psi)(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{ipx}\left(f(p)\int e^{-ipy}\psi(y)dy\right)dp=\int K(x,y)\psi(y)dy,$$ con $$K(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-ip(x-y)}f(p)dp$$ El último paso es formal, porque para que cambiemos el orden de integración, las integrales deben existir, y ese no es siempre el caso, y podrías obtener distribuciones, como es el caso si $f(p)\in \mathcal{S}'(\Bbb{R})$, eso es $f$es una distribución temperada . ej., tomando $F=P$, eso es $f(p)=p$, encontramos $K(x,y)=i\delta'(x-y)$. Pero si tomas por ejemplo $f(p)=e^p$, el núcleo $K(x,y)$no está definido ni siquiera en el sentido de distribuciones moderadas, aunque el operador $F=\exp(P)$está bien definida para un dominio denso.

Desafortunadamente, no estoy tan seguro de qué es ⟨r|F|r′⟩... para evaluar este valor esperado

no es una expectativa, es un elemento de matriz ; pensar en ello como los componentes del operador$F$sobre la base del puesto.

Si el operador es 'diagonal' sobre la base de la posición, entonces$\langle r|F|r' \rangle$es cero excepto cuando$r = r'$.

Así, por ejemplo, si$F = R$es el operador de posición entonces

$$\langle r|R|r' \rangle = r'\delta(r - r')$$

y luego

$$\phi(r) = r\psi(r)$$

Ahora, considere el caso de que$F$operar en un estado propio de posición devuelve una suma de dos estados propios de posición:

$$F|r'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|r' + 1\rangle + |r' - 1\rangle\right)$$

Entonces

$$\langle r|F|r' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\delta(r' - 1 - r) + \delta(r' + 1 - r)\right)$$

y luego

$$\phi(r) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi(r+1) + \psi(r-1)\right)$$