Mi libro de texto de mecánica cuántica (Primer of Quantum Mechanics, de Marvin Chester) dice que tanto el espacio de cantidad de movimiento como el espacio de posición son espacios base. También dice que el espacio de momento está cuantificado mientras que el espacio de posición es un continuo. Tengo dos preguntas:
El hecho de que el espacio de momento y el espacio de posición sean espacios de base, ¿es un resultado experimental o algo que puede derivarse de leyes más básicas?
Aprendo de mi curso de álgebra lineal que cualquier base de un espacio vectorial debe tener el mismo número de elementos. Pero el espacio de momento es contable y el espacio de posición es incontable (para una partícula confinada en una pista en forma de anillo). ¿Cómo pueden ser ambas bases del mismo espacio vectorial?
Primero, el término "espacios base" no es estándar en la física cuántica, pero supongamos que entendemos lo que significan aproximadamente las oraciones.
En segundo lugar, la cantidad de movimiento es continua (no cuantificada) si el espacio de posiciones no es compacto (infinito). El impulso solo se cuantifica si el espacio de posición es compacto (o periódico) y, de hecho, se ha verificado experimentalmente que el impulso se cuantifica, por ejemplo, en el pozo de potencial.
En tercer lugar, el mismo espacio de Hilbert (más precisamente, el espacio de Hilbert amañado, etc.) puede tener bases contables e incontables (etiquetadas con números continuos). No hay contradicción porque en este nivel de precisión, la cardinalidad de la base no tiene un impacto en el "tamaño" del espacio de Hilbert siempre que sea de dimensión infinita. Ver por ejemplo
http://motls.blogspot.com/2014/02/cardinality-of-bases-doesnt-matter-for.html?m=1
Entonces, por ejemplo, una partícula en la línea se describe mediante el espacio de Hilbert de funciones de valores complejos que puede construirse a partir de las "bases" continuas de estados propios de posición; o como superposiciones de los estados propios de energía del oscilador armónico (esta base es contable). Desde el punto de vista de un matemático al que le gusta pensar en la cardinalidad de los conjuntos, las bases pueden ser "diferentemente grandes". Pero desde el punto de vista de la física, son igualmente grandes.
Es completamente común y normal en mecánica cuántica que algunos operadores tengan espectros continuos, otros operadores tengan espectros discretos y otros operadores tengan espectros mixtos (discretos más continuos). Todavía pueden tener bases de estados propios, que son exactamente suficientes para escribir cada vector como una superposición lineal. Para las bases discretas, la superposición lineal se escribe como una suma; para las bases continuas, la combinación lineal se escribe como una integral (y debe estar respaldada por algún sistema axiomático extendido de "espacios de Hilbert amañados", etc. para permanecer riguroso); para bases mixtas, la superposición es la suma de la suma y una integral.
Los operadores con espectros continuos, discretos y mixtos deben considerarse "operadores igualmente buenos" desde el punto de vista de la física. De hecho, el hamiltoniano, el operador de energía que también gobierna la evolución del tiempo, puede tener espectros discretos, continuos o mixtos y la respuesta a menudo requiere cálculos dinámicos complicados: de ninguna manera se determina "a priori" si el hamiltoniano debe tener un parte discreta del espectro. Su espectro tiene una parte discreta (el espectro es discreto o mixto) si el hamiltoniano admite "estados ligados" y normalmente no se puede adivinar "inmediatamente" si tales estados ligados existen.
Respuesta a la pregunta uno: El principio de la mecánica cuántica de R. Shankar, página 149, dice: "Salvo algunas excepciones, la ecuación de Schrödinger siempre se resuelve en una base particular. Aunque todas las bases son iguales matemáticamente, algunas son más iguales que otras. Primero de todo, dado que H = H(X,P), las bases X y P se recomiendan por sí mismas... La elección entre las dos depende del hamiltoniano". Básicamente, la elección de la base depende de la forma en el hamiltoniano. En la base en la que el hamiltoniano tiene una forma más simple, se elige para facilitar los cálculos. Algunos problemas son igualmente fáciles de resolver en base múltiple, por ejemplo, el problema del oscilador armónico es igualmente fácil de resolver en base X y P.
Jaswin
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