¿Prueba de que el oscilador armónico simple unidimensional no es degenerado?

I) Depende de cuán abstracto OP quiera que sea. Digamos que descartamos cualquier referencia a la geometría 1D y los operadores de posición y momento.$\hat{q}$y$\hat{p}$. Di que solo sabemos eso

$$\tag{1}\frac{\hat{H}}{\hbar\omega} ~:=~ \hat{N}+\nu{\bf 1}, \qquad\qquad \nu\in\mathbb{R},$$ $$\tag{2} \hat{N}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a},$$ $$\tag{3} [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~{\bf 1}, \qquad\qquad[{\bf 1}, \cdot]~=~0.$$

(Dado que hemos cortado cualquier referencia a la geometría, ya no hay ninguna razón por la cual$\nu$debe ser la mitad, por lo que lo hemos generalizado a un número real arbitrario$\nu\in\mathbb{R}$.)

II) A continuación, suponga que los estados físicos viven en un espacio de producto interno$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )$, y eso$V$formar una representación unitaria irreducible no trivial del álgebra de Heisenberg,

$$\tag{4} {\cal A}~:=~ \text{associative algebra generated by $\hat{a}$, $\hat{a}^{\dagger}$, and ${\bf 1}$}.$$

El espectro de un operador semipositivo $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$siempre es no negativo,

$$\tag{5} {\rm Spec}(\hat{N})~\subseteq~ [0,\infty[.$$

En particular, el espectro${\rm Spec}(\hat{N})$está delimitado por abajo. Dado que el operador$\hat{N}$conmuta con el hamiltoniano$\hat{H}$, nosotros podemos usar$\hat{N}$clasificar los estados físicos. Esbocemos cómo funciona el argumento estándar. Dilo$|n_0\rangle\neq 0$es un estado propio normalizado para$\hat{N}$con valor propio$n_0\in[0,\infty[$. Podemos usar el operador de escalera de descenso (aniquilación)$\hat{a}$repetidamente para definir nuevos estados propios

$$\tag{6} |n_0- 1\rangle,\quad |n_0- 2\rangle, \quad\ldots$$

que sin embargo podría tener norma cero. Dado que el espectro${\rm Spec}(\hat{N})$está acotado desde abajo, este procedimiento de descenso (6) debe detenerse en muchos pasos finitos. Debe existir un entero$m\in\mathbb{N}_0$tal que se produce la norma cero

$$\tag{7} \hat{a}|n_0 - m\rangle~=~0.$$

Asumir que$m$es el menor de tales enteros. la norma es

$$\tag{8} 0 ~=~ || ~\hat{a}|n_0 - m\rangle ~||^2 ~=~ \langle n_0 - m|\hat{N}|n_0 - m\rangle ~=~ ( n_0 - m) \underbrace{||~|n_0 - m\rangle~||^2}_{>0},$$

por lo que el valor propio original es un número entero

$$\tag{9} n_0 ~=~ m\in\mathbb{N}_0,$$

y ec. (7) se convierte

$$\tag{10} \hat{a}|0\rangle ~=~0,\qquad\qquad \langle 0 |0\rangle ~\neq~0.$$

A continuación, podemos usar el operador de escalera ascendente (creación)$\hat{a}^{\dagger}$repetidamente para definir nuevos estados propios

$$\tag{11} |1\rangle,\quad |2\rangle,\quad \ldots.$$

Mediante un argumento de norma similar, uno puede ver que este procedimiento de elevación (11) no puede eventualmente crear un estado de norma cero y, por lo tanto, continúa para siempre/no se detiene. Inductivamente, en la etapa$n\in\mathbb{N}_0$, la norma sigue siendo distinta de cero,

$$\tag{12} || ~\hat{a}^{\dagger}|n\rangle ~||^2 ~=~ \langle n|\hat{a}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle~=~ \langle n|(\hat{N}+1)|n\rangle ~=~ (n+1) ~\langle n|n\rangle~>~0.$$

Asi que$V$contiene al menos una copia completa del espacio Fock estándar. Por otra parte, por el supuesto de irreductibilidad, el espacio vectorial$V$no puede ser más grande, y$V$es, por lo tanto, solo un espacio de Fock estándar (hasta el isomorfismo).

III) Finalmente, si$V$no es irreducible, entonces$V$podría ser una suma directa de varios espacios de Fock. En el último caso, el nivel de energía del estado fundamental es degenerado.

Cada sistema potencial unidimensional tiene un vacío único porque es el mínimo de los siguientes funcionales

$$\int |\psi'|^2 + V(x) |\psi|^2 dx$$

Que se minimiza mediante una función de onda positiva real (sin nodos). Si hay dos mínimos diferentes (si hay una degeneración), entonces una combinación lineal de las dos funciones de onda tiene un nodo, y esto es inconsistente con un potencial regular.

La única forma de tener estados básicos degenerados (o dos estados básicos independientes separados) es que el potencial V tenga una pared dura infinita que separe diferentes regiones. De lo contrario, la función de onda del estado fundamental no desaparece en todas partes y el argumento de combinación lineal/nodo anterior funciona.

Para el oscilador armónico, es un poco más trivial de probar que estas cosas generales, porque el estado fundamental es aniquilado por el operador de aniquilación.$x+ip$, y esta es una ecuación diferencial de primer orden con exactamente una solución hasta el cambio de escala, que es el estado fundamental gaussiano.