Espacio de Hilbert de una partícula libre: ¿contable o incontable?

Question

Espacio de Hilbert de una partícula libre: ¿contable o incontable?

jim graber

Obviamente, esta es una pregunta de seguimiento del espacio del oscilador armónico de Phys.SE post Hilbert: ¿contable frente a incontable?

Así que pensé que el espacio de Hilbert de un electrón ligado es contable, pero el espacio de Hilbert de un electrón libre es incontable. Pero los argumentos sobre la suavidad y las funciones delta en las respuestas a la pregunta anterior me convencen de lo contrario. ¿Por qué el espacio de Hilbert de una partícula libre no es también contable?

parker

Una partícula libre y un oscilador armónico tienen el mismo espacio de Hilbert

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb{R}^n)$ .

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Espacio de Hilbert de una partícula libre: ¿contable o incontable?

Una partícula libre y un oscilador armónico tienen el mismo espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^n)$ .

joshfísica · Answer 1

joshfísica

La dimensión de Hilbert del espacio de Hilbert de una partícula libre es contable. Para ver esto, tenga en cuenta que

El espacio de Hilbert de una partícula libre en tres dimensiones es $L^2(\mathbb{R}^3)$ .
Una base ortonormal de un espacio de Hilbert $\mathcal H$ es cualquier subconjunto $B\subseteq \mathcal H$ cuyo lapso es denso en $\mathcal H$ .
Todas las bases ortornormales de un espacio de Hilbert no vacío dado tienen la misma cardinalidad, y la cardinalidad de cualquiera de esas bases se denomina dimensión de Hilbert del espacio.
El espacio de Hilbert $L^2(\mathbb R^3)$ es separable ; admite una base ortonormal contable. Por lo tanto, según la definición de la dimensión de Hilbert de un espacio de Hilbert, tiene dimensión contable.

Apéndice. 2014-10-19

Hay otra noción de base a la que generalmente no se hace referencia cuando se analizan los espacios de Hilbert, a saber, una base de Hamel (también conocida como base algebraica ). Hay un teorema correspondiente llamado teorema de la dimensión que dice que todas las bases de Hamel de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, y la dimensión del espacio vectorial se define entonces como la cardinalidad de cualquier base de Hamel.

Se puede demostrar que cada base de Hamel de un espacio de Hilbert de dimensión infinita es incontable .

Como resultado, la dimensión (en el sentido de las bases de Hamel) del espacio de Hilbert de partículas libres es incontable, pero nuevamente, este no suele ser el sentido en el que uno usa el término dimensión en este contexto, especialmente en física.

jim graber

Entonces, ¿el universo total, o al menos toda la mecánica cuántica, es contable? Una vez me lo dijo un físico muy famoso, pero no pensé que esa fuera la posición mayoritaria.

jim graber

Pero entonces, ¿para qué sirven los espacios de Hilbert amañados? Pensé que su punto principal era mezclar contables e incontables de manera consistente. Una mirada rápida a Wikipedia encuentra que "pueden reunir el 'estado ligado' (vector propio) y el 'espectro continuo', en un solo lugar".

joshfísica

@Jim Yo (y ninguna otra persona que conozca) puedo hablar con cierta certeza sobre el espacio de Hilbert del universo. Lo que puedo decirles es que la mayoría de los físicos modelan el estado de una partícula libre como un vector en

L^{2} (R^{3})

$L^2(\mathbb R^3)$ cuya dimensión es contable. Desafortunadamente, no estoy lo suficientemente familiarizado con los espacios de Hilbert amañados para decir algo inteligente sobre su utilidad.

usuario1504

@Jim Si está utilizando el formalismo espacial de Hilbert manipulado, su espacio de estado es en realidad un subespacio de un espacio de Hilbert contable. Ver aquí: physics.stackexchange.com/questions/43515/…

jjcale

Los vectores propios y el espectro continuo son propiedades de los operadores, no del espacio de Hilbert. Un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert separable es también un espacio de Hilbert separable, si su dimensión es infinita. Todos los espacios de Hilbert separables son equivalentes unitario aunque pueden parecer muy diferentes.

usuario1504

@jjcale: No está del todo claro a quién te diriges.

jjcale

@user1504: Me dirijo a ti y a Jim Graber.

usuario1504

@jjcale El subespacio del que estoy hablando no está cerrado.

jjcale

@ user1504: está bien, pero entonces no es un espacio de Hilbert.

usuario1504

@jjcale: Nadie dijo que lo fuera. Es el dominio del álgebra de observables.

jjcale

@ user1504: Pero la pregunta es sobre los espacios de Hilbert.

usuario1504

@jjcale Jim hizo una segunda pregunta (en su comentario) sobre los espacios de Hilbert amañados. En este formalismo, el espacio de estado no es en realidad un espacio de Hilbert. En cambio, es un subespacio vectorial de algún espacio de Hilbert. Esto es suficiente para responder a la pregunta de Jim. Para obtener más detalles sobre el formalismo, consulte la respuesta a la pregunta que vinculé anteriormente.

SRS

@joshphysics- ¿Cómo puede ser el espacio de Hilbert de partículas libres?

L^{2} (R^{3})

$L^2(\mathbb{R}^3)$ ? Los estados de partículas libres son estados propios de momento y, por lo tanto, de la forma

\sim e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}

$\sim e^{i\vec k\cdot \vec r}$ , que no son integrables en cuadrado . ¿Existe alguna base contable en el caso de las partículas libres?

joshfísica

@Roopam Los estados propios del impulso no son estrictamente elementos del espacio de Hilbert de la partícula libre. Todas las bases honestas para el espacio de Hilbert de la partícula libre son contables. Aquí se proporciona un ejemplo de tal base en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomios#Hermite_functions , como se menciona en la respuesta.

SRS

@joshphysics- Está bien. Pero no entiendo por qué tiramos este set

{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}}

$\{e^{i\vec k\cdot\vec r}\}$ fuera del espacio de Hilbert? Dado que estos no son cuadrados integrables, implica que no pertenecen a

L^{2}

$L^2$ . Eso está bien. Pero podríamos haber extendido el espacio de Hilbert desde

L^{2}

$L^2$ , a algo que incluye estas funciones también. ¿no es así? ¿Significa que estas soluciones no son físicamente aceptables? Pero durante los problemas de dispersión y otros casos, ¿usamos tales funciones? ¿Cuál es el espacio de Hilbert allí? ¿Siempre usamos

L^{2}

$L^2$ en mecánica cuántica? ¿Para salvar la interpretación de probabilidad de Born?

joshfísica

@Roopam, le recomiendo que investigue los espacios de Hilbert amañados que resultan precisamente de los intentos de incluir funciones no integrables al cuadrado en el espacio de estado. Cuando hacemos problemas de dispersión, etc., es útil usar ondas planas para obtener ciertos resultados, pero en última instancia, cuando queremos usar interpretaciones probabilísticas de la mecánica cuántica como usted indica, los estados físicamente permisibles deben ser

L^{2}

$L^2$ .

SRS

@joshphysics-De los principios de la mecánica cuántica de Dirac "El espacio de los vectores bra o ket cuando los vectores están restringidos para tener una longitud finita y tener productos escalares finitos es llamado por los matemáticos un espacio de Hilbert. Los vectores bra y ket que ahora usamos forman un espacio más general que un espacio de Hilbert ". página-40. Si no ampliamos el espacio de Hilbert de la mecánica cuántica de

L^{2}

$L^2$ , estados de dispersión de

H -

$H-$ El átomo no puede vivir allí, pero no creo que haya una razón para considerarlos no físicos.

SRS

@joshphysics- Más bien, renunciaré a la interpretación de probabilidad absoluta y buscaré la probabilidad relativa como dicen Landau y Lifshitz. Pero en verdad tenías razón,

{e^{i k x}}

$\{e^{ikx}\}$ -los estados no son físicos, también lo son

{δ (x - x_{0})}

$\{\delta(x-x_0)\}$ . Pero todos los estados de dispersión no son afísicos como los del átomo de hidrógeno. Así que esos deben incluirse en el espacio de hilbert. ¿Tengo razón?

Ján Lalinský

La descripción de @SRS de la dispersión no requiere que salgamos del espacio de Hilbert. El uso común de

e^{i k x}

$e^{ikx}$ se debe a que simplifica los cálculos. Para hacerlo más correctamente, se deben hacer los cálculos de dispersión con paquetes de ondas descritos por funciones psi normalizadas. Entonces, en lugar de representar la partícula entrante como una onda infinitamente ancha (que obviamente no es física), uno la representaría como una onda limitada en su extensión espacial (el ancho del paquete está determinado por la configuración experimental, por ejemplo, el ancho de onda sería limitado por aberturas en la fuente de partículas).

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