Hamiltoniano del oscilador armónico cuántico con ψ(x)=δ(x)ψ(x)=δ(x)\psi(x)=\delta(x): comparación con la mecánica clásica

Los estados más clásicos del oscilador armónico son Estados coherentes del oscilador armónico , no$\delta(x)$. La razón es que el estado coherente tiene una incertidumbre equilibrada de coordenadas y cantidad de movimiento:

en un estado con$\phi(x)=\delta(x)$la incertidumbre del impulso$\Delta p=\infty$, no tiende a cero.

ACTUALIZAR:

No es correcto asumir que una partícula con alta energía siempre puede ser descrita por la mecánica clásica. Considere por ejemplo dos estados$|\psi_1\rangle$y$|\psi_2\rangle$, en el que la partícula tiene alta energía. Cualquier superposición de ellos es un estado válido en mecánica cuántica pero no tiene sentido en mecánica clásica.

Tus intentos de tomar un límite clásico realmente no tienen sentido. Por la naturaleza de la mecánica clásica, fuera de la mecánica estadística, no existe una "distribución de posición" de un sistema clásico. Un sistema clásico siempre tiene una posición y un momento definidos, por lo que sus "distribuciones" de posición y momento serían$\delta(x)$y$\delta(p)$, respectivamente. Eso es completamente cierto independientemente del estado específico del sistema clásico o de cualquier otra propiedad del sistema, por lo que no es un enfoque útil para pensar qué sistema cuántico corresponde a este.

Su identificación de la mecánica clásica como el límite de alta energía de la mecánica cuántica es errónea. Puedo dar varios ejemplos. Considere el estado del oscilador armónico de alta energía (fock/number)

El$1000^{th}$estado propio de energía del oscilador armónico. La amplitud del movimiento está bien definida, sin embargo, la fase está completamente indefinida. El oscilador podría aparecer en cualquier posición y con cualquier momento consistente con$X^2 + P^2 = 1000$(en las unidades correspondientes).

Considere también el estado del gato.

Donde esta es una superposición de dos estados coherentes de alta energía. En este caso, el sistema se encuentra en una superposición macroscópica de dos estados, lo que es muy poco clásico.

Estos son dos ejemplos de estados cuánticos que son de alta energía pero no clásicos.

Creo que es probable que los estados cuánticos de baja energía genéricamente (estados cercanos al estado fundamental) siempre sean no clásicos. Por lo tanto, la alta energía puede ser una condición necesaria para que un estado parezca clásico, pero ciertamente no es una condición suficiente.

El estado que está considerando es$\langle x|\psi \rangle = \psi(x) = \delta(x)$. Es incorrecto decir que este estado tiene mucha energía. No es un estado propio de energía y, como se puede ver por una transformada de Fourier, es una superposición de estados con todas las energías posibles. Es decir, tiene aportes de baja energía y alta energía. ¡Tiene energía a todos los niveles! Esto es parte de por qué es un estado altamente no clásico. Solo agregaré aquí que la razón por la que este estado no es físico es porque este estado requiere energía infinita para prepararse y eso no está disponible. Sin embargo, podría preparar un estado que tenga una ocupación uniforme de todos los niveles de energía hasta la energía$E_0$. En este caso, la función de onda sería una función estrecha que se aproxima a un delta de dirac. Tendría un ancho proporcional a$\frac{1}{E_0}$, por lo que cuanto mayor sea la energía a la que pueda llegar, más cerca podrá aproximarse a la$\delta$función.

Ahora la cuestión de una función delta de dirac clásica. Sí, un sistema clásico en CUALQUIER estado determinista (ignorando los estados térmicos/estocásticos) se mostrará como un delta de dirac en el espacio de fase. Tendrá una posición y un impulso bien definidos. Se puede ver que la energía se puede calcular para ser$E = X^2 + P^2$(nuevamente con algunas escalas) y, lo que es más importante, que la energía esté bien definida y sea finita.

La gran diferencia es que mecánicamente cuánticamente es imposible tener una función delta tanto en posición como en momento. Simplemente no es un estado válido dentro del espacio de Hilbert. Una forma de ver esto es porque la posición y el momento son pares de transformadas de Fourier y la función delta de dirac no es su propia transformada de Fourier. Esta es la declaración principal de la versión de función de onda del principio de incertidumbre.

Dicho de otra manera, el oscilador clásico de estado fundamental tiene$X=0$y$P=0$. No se está moviendo. No tiene energía. Un oscilador cuántico con$\psi(x) = \delta(x)$tiene$X=0$pero tiene TODOS los momentos posibles. Lo que significa que simultáneamente no se mueve (análogo al oscilador clásico) y se mueve infinitamente rápido en todas las direcciones. Esto es muy diferente del oscilador clásico.

Estoy diciendo mucho aquí y siento que me estoy repitiendo, así que tal vez sería mejor que hicieras preguntas aclaratorias.

Conjuntos de respuestas de Emilio Pisanty$\hbar = 1$, que esconde algunas sutilezas respecto al límite clásico. con explícito$\hbar$, la transformada de Fourier contiene$e^{i px/\hbar}$, lo que dificulta la interpretación del significado del límite clásico$\hbar \to 0$. Es más fácil ver lo que sucede si considera un paquete de ondas gaussianas con una dispersión de espacio de posición$\Delta x$en cambio. Encontrarás que la dispersión en el espacio de momento$\Delta p \propto \hbar / \Delta x$. Así que si tomamos$\Delta x \to 0$ mientras lo esté agarrando$\hbar$arreglado para obtener un$\delta$-función posición función de onda, como lo hace Emilio, entonces encontramos que la energía cinética va como$(\Delta p)^2 \propto \hbar^2 / (\Delta x)^2$y diverge. Físicamente, por supuesto,$\hbar$ está arreglado, por lo que esto suele ser lo más lógico. Pero en el límite clásico es más útil pensar en tomar$\hbar \to 0$ antes de tomar$\Delta x \to 0$. En este caso obtenemos una partícula clásica "determinista" con ambos$\Delta x = \Delta p = 0$, que puede tener energía cero.

Todo eso es algo heurístico, porque realmente deberíamos estar tomando proporciones adimensionales a cero. La forma más rigurosa de hacerlo es considerar las escalas características de longitud y momento inherentes al potencial del oscilador en particular, y pensar en los diferenciales de paquetes de ondas en relación con esas escalas. Descubrirá que el límite clásico realmente corresponde a regímenes en los que tanto la dispersión del espacio de posición como la del espacio de momento son mucho más pequeñas que esas escalas características, de modo que la partícula está casi perfectamente localizada tanto en el espacio de posición como en el de momento. En este caso encontramos que la "energía clásica" resulta ser mucho mayor que la energía de punto cero$\propto \hbar \omega$, por lo que este último puede despreciarse. Esa es la forma rigurosa de justificar si tomar$\Delta x \to 0$o$\hbar \to 0$primero; la elección correcta refleja la dispersión de posición relativa de su función de onda a la escala de longitud relevante establecida por el hamiltoniano.