Potencias no enteras para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico y unicidad del espectro

Question

Potencias no enteras para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico y unicidad del espectro

trabajo

Introducción

(La idea de esta pregunta surgió de mi respuesta a Unicidad de la escalera cuántica para el oscilador armónico )

el hamiltoniano $H$ para el oscilador armónico cuántico se puede escribir en términos de los operadores de escalera $a_+$ y $a_-$ como

H = ℏ ω (a_{+} a_{-} + 1 / 2) = ℏ ω (norte + 1 / 2),

$H=\hbar\omega(a_+ a_-+1/2)=\hbar\omega(N+1/2),$ dónde

N

$N$ es el operador numérico. Entonces

[norte, a_{+}] = a_{+} y [norte, a_{-}] = - a_{-},

$[N,a_+]=a_+ \qquad \text{and} \qquad [N,a_-]=-a_-,$ y si

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ es un estado propio para

N

$N$ con valor propio

c

$c$ entonces

norte a_{+} | ψ ⟩ = (C + 1) a_{+} | ψ ⟩ y norte a_{-} | ψ ⟩ = (C - 1) a_{-} | ψ ⟩ .

$Na_+|\psi\rangle=(c+1)a_+|\psi\rangle\qquad\text{and}\qquad Na_-|\psi\rangle=(c-1)a_-|\psi\rangle.$

Cualquier operador $M$ tal que $[N,M]=\lambda M$ , dónde $\lambda$ es un número, produce el mismo efecto, obteniendo nuevos valores propios y estados propios:

norte METRO | ψ ⟩ = (C + λ) METRO | ψ ⟩ .

$NM|\psi\rangle=(c+\lambda)M|\psi\rangle.$ De hecho, definir el grado de un producto de operadores de escalera como

calificación (a_{+}^{norte} a_{-}^{metro}) = norte - metro,

$\text{grade}(a_+^n a_-^m)=n-m,$ dónde

n

$n$ y

m

$m$ son enteros positivos , cualquier suma de operadores del mismo grado satisface la misma relación que

M

$M$ con

λ = n - m

$\lambda=n-m$ . En particular, cualquier operador de grado cero conmuta con el hamiltoniano.

La pregunta

¿Se pueden definir operadores con grado no entero?

Por ejemplo, si el operador $\sqrt{a_+}$ se puede definir, entonces

[a_{+} a_{-}, \sqrt{a_{+}}] = a_{+} [a_{-}, \sqrt{a_{+}}] = \frac{1}{2} \sqrt{a_{+}},

$[a_+a_-,\sqrt{a_+}]=a_+[a_-,\sqrt{a_+}]=\frac{1}{2}\sqrt{a_+},$ donde la regla formal

[a_{-}, f (a_{-}, a_{+})] = \frac{\partial f (a_{-}, a_{+})}{\partial a_{+}}

$[a_-,f(a_-,a_+)]=\frac{∂f(a_-,a_+)}{\partial a_+}$ se utilizó,

f

$f$ siendo una función arbitraria de

a_{+}

$a_+$ y

a_{-}

$a_-$ . Pero esto implica una diferencia de la mitad entre valores propios asociados a diferentes estados propios:

norte \sqrt{a_{+}} | ψ ⟩ = (C + \frac{1}{2}) \sqrt{a_{+}} | ψ ⟩ .

$N\sqrt{a_+}|\psi\rangle=(c+\frac{1}{2})\sqrt{a_+}|\psi\rangle.$

Un operador como el anterior produciría un espectro diferente y está muy bien establecido que esto es imposible en las siguientes cuestiones:

¿Cómo sabemos que hemos capturado todo el espectro del Oscilador Armónico usando operadores de escalera?

Prueba de que los estados de energía de un oscilador armónico dados por el operador de escalera incluyen todos los estados

¿Cómo sabemos que hemos capturado todo el espectro del Oscilador Armónico usando operadores de escalera?

Entonces, la respuesta a la pregunta anterior es negativa, pero todas las respuestas citadas anteriormente recurren al espectro real para obtener una prueba y mi verdadera pregunta es:

¿Es posible demostrar que las potencias no enteras de los operadores $a_+$ y $a_-$ no existen sin recurrir al espectro?

Me refiero a una prueba como que los operadores de escalera no tienen inversa para espacios vectoriales de dimensión finita: si el operador de escalera $M$ tiene inversa entonces $N-MNM^{-1}=\lambda 1$ , pero la traza del lado izquierdo es cero, mientras que la traza del lado derecho no lo es, una contradicción.

Representación de posición

En la representación de posición, la pregunta es si los operadores diferenciales como $\sqrt{x-\frac{d}{dx}}$ existir. Busqué mucho operadores diferenciales fraccionarios, pero no encontré nada que pudiera ayudar. Pensé al expresar el operador como $\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{d/dx}{x}}$ y desarrollando la segunda raíz cuadrada como una serie de potencias, pero hay cierta ambigüedad como $x$ y $d/dx$ no conmutar

Respuestas (2)

Potencias no enteras para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico y unicidad del espectro

Valter Moretti · Answer 1

La respuesta es negativa. Supongamos que sus operadores podrían definirse en un dominio que incluye el dominio natural de $a_+a_-$ (indiferentemente hecho de funciones suaves que se desvanecen rápidamente o de todas las posibles combinaciones lineales finitas de vectores $a_+^n|0\rangle$ ). Y supongamos que satisfacen allí la relación de conmutación "anómala" que señalas.

Como consecuencia, como notará, producirían un espectro diferente para $a_+a_-$ sobre dicho dominio. En consecuencia, también cualquier extensión autoadjunta de $a_+a_-$ ganaría un espectro diferente.

Desde $a_+a_-$ es esencialmente autoadjunto en su dominio natural, sólo hay una extensión autoadjunta de $a_+a_-$ y el espectro de esa única extensión es el conocido. Por lo tanto, el espectro está rígidamente fijado y sus operadores no pueden existir: cada intento de definirlos encontraría alguna obstrucción a nivel de dominios.

Gracias por tu respuesta. Nunca he oído hablar de las extensiones autoadjuntas y voy a investigar un poco para apreciar mejor su respuesta. Quiero decir que ya sabía que tales operadores no podrían existir: ese hecho está muy bien establecido en respuestas anteriores de usted y otros. Lo que quería es un argumento a favor de la inexistencia sin recurrir explícitamente al espectro. Mi punto es que tal argumento podría ser útil en otros problemas con diferentes espectros. Es mi culpa no dejar esto claro en la pregunta.
@ValterMoretti ¿Podría considerar abordar esta pregunta ? sería muy apreciado.
Lo siento, estoy demasiado ocupado ahora, intentaré echar un vistazo la próxima semana.

qmecanico · Answer 2

Para simplificar, consideremos la raíz cuadrada como un ejemplo de una potencia no entera. Las raíces cuadradas de los operadores generalmente solo se definen para operadores semipositivos, pero $a_{\pm}=a_{\mp}^{\dagger}$ ni siquiera son operadores normales , cf. la RCC
$\begin{matrix} (1) & [a_{-}, a_{+}] = ℏ 1 . \end{matrix}$ $[a_-,a_+]~=~\hbar {\bf 1} .\tag{1}$
Sin embargo, si ignoramos este hecho, entonces debemos exigir coherencia.
$\begin{matrix} (2) & [\sqrt{a_{-}}, a_{+}] = \frac{ℏ}{2 \sqrt{a_{-}}}, [a_{-}, \sqrt{a_{+}}] = \frac{ℏ}{2 \sqrt{a_{+}}}, \end{matrix}$ $[\sqrt{a_-},a_+]~=~\frac{\hbar}{2\sqrt{a_-}}, \qquad [a_-,\sqrt{a_+}]~=~\frac{\hbar}{2\sqrt{a_+}},\tag{2}$ como OP esencialmente ya se dedujo. ecuación (2) choca con el hecho de que $a_{\pm}$ generalmente se consideran no invertibles.
Sin embargo, si estamos dispuestos a ignorar esto también, entonces deberíamos encontrar una fórmula consistente para
$\begin{matrix} (3) & [\sqrt{a_{-}}, \sqrt{a_{+}}] = ? \end{matrix}$ $[\sqrt{a_-},\sqrt{a_+}]~=~?\tag{3}$ Esto resulta ser más difícil de lo que parece.
Conjeturamos que la fórmula apropiada (3) es una serie infinita
$\begin{matrix} (3) & [\sqrt{a_{-}}, \sqrt{a_{+}}] = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{((2 k - 1)!!)^{2} ℏ^{k}}{2^{2 k} k!} a_{+}^{1 / 2 - k} a_{-}^{1 / 2 - k}, \end{matrix}$ $[\sqrt{a_-},\sqrt{a_+}]~=~\sum_{k=1}^{\infty} \frac{((2k-1)!!)^2\hbar^k}{2^{2k} k!}a_+^{1/2-k}a_-^{1/2-k},\tag{3}$ y más generalmente $\begin{matrix} (4) & [a_{-}^{r}, a_{+}^{s}] = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{r! s! ℏ^{k}}{(r - k)! (s - k)! k!} a_{+}^{s - k} a_{-}^{r - k}, r, s \in C, \end{matrix}$ $[a_-^r,a_+^s]~=~\sum_{k=1}^{\infty} \frac{r!s!\hbar^k}{(r-k)!(s-k)! k!}a_+^{s-k}a_-^{r-k}, \qquad r,s~\in~ \mathbb{C},\tag{4}$ dónde $r!:=\Gamma(r+1)$ . La conjetura (4) se basa principalmente en el hecho de que la ec. (4) es correcto para enteros no negativos $r,s\in \mathbb{N}_0$ , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Una verificación de consistencia no trivial de eq. (4) (que no hemos realizado) es si la composición del operador sigue siendo asociativa con la regla (4).

Gracias por su respuesta. Estaba buscando una argumentación para la inexistencia de operadores como el suyo: sin recurrir al espectro real. No entendí qué es "OP" en el punto 2. En el punto 3, creo que el conmutador es proporcional a $1/\sqrt{a_-a_+}$ , como es el caso del espacio de fase clásico. Un último punto: ¿conoces alguna prueba de que $a_+$ y $a_-$ no tienen inversa sin hacer un uso explícito del espectro, como el que ejemplifiqué para espacios vectoriales de dimensión finita?

Potencias no enteras para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico y unicidad del espectro

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La pregunta

Representación de posición

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Valter Moretti

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