Obviamente, esta es una pregunta de seguimiento del espacio del oscilador armónico de Phys.SE post Hilbert: ¿contable frente a incontable?
Así que pensé que el espacio de Hilbert de un electrón ligado es contable, pero el espacio de Hilbert de un electrón libre es incontable. Pero los argumentos sobre la suavidad y las funciones delta en las respuestas a la pregunta anterior me convencen de lo contrario. ¿Por qué el espacio de Hilbert de una partícula libre no es también contable?
La dimensión de Hilbert del espacio de Hilbert de una partícula libre es contable. Para ver esto, tenga en cuenta que
El espacio de Hilbert de una partícula libre en tres dimensiones es .
Una base ortonormal de un espacio de Hilbert es cualquier subconjunto cuyo lapso es denso en .
Todas las bases ortornormales de un espacio de Hilbert no vacío dado tienen la misma cardinalidad, y la cardinalidad de cualquiera de esas bases se denomina dimensión de Hilbert del espacio.
El espacio de Hilbert es separable ; admite una base ortonormal contable. Por lo tanto, según la definición de la dimensión de Hilbert de un espacio de Hilbert, tiene dimensión contable.
Apéndice. 2014-10-19
Hay otra noción de base a la que generalmente no se hace referencia cuando se analizan los espacios de Hilbert, a saber, una base de Hamel (también conocida como base algebraica ). Hay un teorema correspondiente llamado teorema de la dimensión que dice que todas las bases de Hamel de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, y la dimensión del espacio vectorial se define entonces como la cardinalidad de cualquier base de Hamel.
Se puede demostrar que cada base de Hamel de un espacio de Hilbert de dimensión infinita es incontable .
Como resultado, la dimensión (en el sentido de las bases de Hamel) del espacio de Hilbert de partículas libres es incontable, pero nuevamente, este no suele ser el sentido en el que uno usa el término dimensión en este contexto, especialmente en física.
parker