¿Cómo hacer rigurosa la idea de un conjunto completo continuo?

En mecánica cuántica, cuando se usa el formalismo de Dirac, una de sus características es la expansión de los vectores de estado en una base continua de vectores propios de operadores autoadjuntos ilimitados. Dejar H Sea el espacio de estado de un sistema cuántico y A algún operador autoadjunto ilimitado.

Entonces, lo habitual que se hace es: se supone que A tiene un conjunto continuo de vectores propios { | a ⟩ : a ∈ R } indexado por sus valores propios a ∈ R y supone que uno puede escribir cualquier vector de estado como una "combinación lineal" de esos vectores propios en el sentido de la siguiente integral:

| ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ⟨ a | ψ ⟩ | a ⟩   d a .

Otra característica es la "relación de completitud" que se puede escribir como la siguiente integral

∫ − ∞ ∞ | a ⟩ ⟨ a |   d a = I ,

ser I el operador de identidad. Finalmente, también existe la relación de ortogonalidad que es:

⟨ a | a ′ ⟩ = d ( a − a ′ ) .

Esos tres rasgos del formalismo de Dirac, aunque muy útiles, no son rigurosos. Hay algunos puntos que he notado:

  1. Desconozco la validez del teorema espectral para operadores ilimitados con espectros continuos. En ese caso, no sé si se podría decir que los vectores propios forman una base. En verdad, ni siquiera está claro qué se entiende por base en este contexto.

  2. En la ecuación de expansión, tenemos la integral de una función F : R → H dada por F ( a ) = ⟨ a | ψ ⟩ | a ⟩ y no me queda claro al principio cómo se puede definir la integral de tal función.

  3. En la relación de completitud, tenemos otra integral extraña. Ahora es de una función gramo : R → L ( H , H ) ser L ( H , H ) el espacio de los operadores en H . Esta función gramo es definido por gramo ( a ) = | a ⟩ ⟨ a | y no está claro cómo se define nuevamente la integral de tal función.

  4. La relación de ortogonalidad parece realmente extraña. No es la ortogonalidad habitual, sino que implica la delta Diract, que es una distribución. En ese caso, aunque ⟨ a | a ′ ⟩ debe ser un número complejo, se iguala a una distribución, que es un funcional sobre un espacio de funciones de prueba.

Escuché que el formalismo Rigged Hilbert Space, también conocido como Gel'fand triple, resuelve todos estos problemas. Pero aún no entendía cómo. En verdad, lo que sé sobre esta construcción es que elegimos un subespacio denso Ω del espacio de Hilbert H donde todos los operadores relevantes se pueden definir y son invariantes. Luego nos fijamos en el espacio de funcionales antilineales y funcionales lineales. Esto le da significado al espacio de kets y bras, pero no sé cómo tiene sentido todas estas construcciones de las que hablé anteriormente.

En ese caso, ¿cómo se puede hacer rigurosa esta parte del formalismo de Dirac? ¿Cómo se resuelven estos cuatro puntos? ¿Cómo es posible dar sentido a esas integrales y las relaciones involucradas? Y finalmente, ¿cómo se puede usar aquí el triple Gel'fand para que todo sea correcto?

Comentario v1: el teorema espectral se puede escribir para cualquier operador autoadjunto (en realidad, para cualquier operador normal).
Eche un vistazo al capítulo 13 (espacios de Hilbert) del libro de Szekeres sobre física matemática. La mayoría de las respuestas que desea están ahí y en forma rigurosa.
Siguiendo su comentario, eché un vistazo a este libro y capítulo y lo encuentro bastante clásico y no parece decir nada sobre el tipo de "base generalizada" en cuestión, es decir, no responde 2. y 4. y no realmente 1 Solo quiero señalar la integral de Gelfand-Pettis y la integral de Bochner, que uno encuentra al buscar "integrales con valores vectoriales". Aunque sé muy poco sobre esto, solo quiero decir que una integral se define como un límite y que en espacios de infinitas dimensiones uno tiene que preocuparse por el posible significado diferente de los límites, de ahí las diferentes nociones de...
integrales. Ahora para 4. lo que entiendo es que lhs es una "función" de los índices "a" y "a'". La "base generalizada" es tal que en lugar de ser una función, es una distribución.
Vale la pena notar que una presentación matemáticamente sólida de la generalización del formalismo al caso de operadores ilimitados, trabajando con familias de medidas de valor de proyector, fue realizada ya en 1932 por von Neumann. Su libro Mathematical Foundations of Quantum Mechanics es una pequeña joya que contiene al mismo tiempo una firme base matemática y una visión muy profunda de la física subyacente. Actualmente existe en una edición renovada donde todas las fórmulas han sido reescritas utilizando TeX moderno.

Respuestas (1)

No hay vector propio correspondiente al espectro continuo. El formalismo de Gel'fand triples tampoco da mucha ayuda para resolver tus dudas, y tiene muy pocas aplicaciones en mi experiencia. Una razón es que esos "vectores propios generalizados" no están en el espacio de Hilbert sino en un espacio más grande, y lo que se puede hacer con ellos no es mucho desde un punto de vista riguroso (por ejemplo, pueden actuar, por dualidad topológica, solo en un subconjunto de los vectores del espacio de Hilbert; no pueden multiplicarse; no pueden actuar sobre otros vectores propios generalizados;...).

El teorema espectral es, en cambio, válido para cualquier operador autoadjunto. Aún más importante, existe una correspondencia uno a uno entre A ∈ S mi yo F A d j o i norte t ( H ) y familias especiales de proyecciones llamadas familias espectrales (o medidas con valor de proyección) { PAG Ω } Ω ∈ B o r mi yo ( R ) ⊂ L ( H ) .

Estos proyectores son la generalización de | ψ norte ⟩ ⟨ ψ norte | , proyectando sobre el subespacio con valor propio norte (se supone que es de multiplicidad uno); por lo que se proyectan, en términos generales, sobre el subespacio de vectores donde el operador toma valores solo en el Ω porción del espectro. De hecho, si denotamos por d PAG ( λ ) la medida con respecto a la familia espectral { PAG Ω } Ω ∈ B o r mi yo ( R ) (que se puede definir rigurosamente), el operador asociado se puede escribir como:

A = ∫ R λ d PAG ( λ ) ;
y la descomposición asociada de la identidad puede escribirse como:
1 = ∫ R d PAG ( λ ) = PAG R .
La última ecuación es la forma matemática correcta de escribir la segunda ecuación del OP.

En cambio, las otras ecuaciones no tienen una contraparte rigurosa ya que no hay vectores propios de operadores con espectros continuos (por supuesto, puede escribir ψ = ∫ R d PAG ( λ ) ( ψ ) , pero eso no es tan útil).

¿Qué pasa con el teorema espectral nuclear? ¿No debería dar esto lo que se necesita? mathoverflow.net/questions/179932/… (Mirando los vectores propios generalizados)
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