Extensión distribucional de un espacio de Hilbert

Esta pregunta proviene de la sección Complejización de Modern Canonical Quantum General Relativity de Thomas Thiemann , pero creo que solo trata sobre los fundamentos de la mecánica cuántica.

La idea básica es que desea incluir medidas de distribución como el delta de Dirac en su espacio de Hilbert. Así que empiezas con un espacio de Hilbert H = L 2 ( C , d m ) como las funciones cuadradas integrables en un espacio de configuración C con respecto a una medida d m . Ahora, si desea probar e incluir la función Delta definida con respecto a una medida de probabilidad d m ′ a través de

∫ d ( q − q ′ ) F ( q ′ ) d m ′ = F ( q ) ,

Necesita una extensión de distribución (su frase exacta para esto) del espacio de configuración, C ¯ . Continúa diciendo que entonces podrías ser capaz de hacer un estado distributivo como

ψ q ′ = Exp ⁡ ( − ϕ ) d q ′
para una función de alisado adecuada ϕ sea ​​integrable al cuadrado si eligió la función de suavizado con cuidado (todo esto tiene que ver con los estados coherentes, lo que nuevamente, creo que no es demasiado importante).

El problema que tengo es que no entiendo cómo esto puede ser un espacio de Hilbert. Específicamente:

  1. Parece que tenemos dos medidas, d m para la función original en C y d m ′ para la medida en C ¯ . ¿Es esto posible, o he entendido mal y solo estamos extendiendo d m para aplicar también a las distribuciones, así como d m ¯ ? ¿Es esto siempre posible?
  2. Además, esto aún debería ser un espacio vectorial, entonces, ¿cómo se supone que debo dar sentido a la propiedad aditiva? Las distribuciones son duales a las funciones en C , entonces, ¿puedo simplemente agregar duales como
    F ( q ) + d ( q − q ′ )
    y esperar que tengan sentido? Claro que tienen algún sentido en el producto interno, pero ¿no debería estar bien definido en el espacio vectorial subyacente?
La extensión no es un espacio de Hilbert porque no es autodual/no tiene producto interno (¿cuál sería el producto interno de d ser consigo mismo?). Esta construcción se conoce como rigged Hilbert space/Gel'fand triple . En particular, define la "extensión de distribución" como el dual en algún subespacio de su espacio de Hilbert
Nota al margen sobre la pregunta 2: la suma de distribuciones no es un problema, ciertamente forman un espacio vectorial (por definición, el dual de un espacio vectorial es un espacio vectorial).
@ACuriousMind: Vale, creo que ya veo. Los deltas son parte del espacio dual a algún subespacio del espacio de Hilbert, dotados de su propia medida para que d ∗ ( F ) =< d , F > (¡o alguna notación correcta!). Por lo tanto, no se espera que las distribuciones sean integrables al cuadrado, pero si es complicado, es posible que pueda construir funciones integrables al cuadrado que incluyan deltas.

Respuestas (1)

No soy en absoluto un experto en gravedad cuántica, pero creo que has entendido mal el punto.

Tal como lo entiendo, el punto no es necesariamente tener distribuciones como vectores espaciales cuánticos de Hilbert, sino tener un "espacio de configuración" distribucional, es decir, distribuciones como el dominio de las funciones que son los vectores cuánticos.

Mientras que en QM (es decir, para partículas) el espacio de configuración (y por lo tanto el espacio de fase relacionado) es de dimensión finita, en QFT el espacio de configuración suele ser un espacio de Hilbert de dimensión infinita real. Hay un resultado debido a Segal , donde se prueba que el espacio de Fock construido sobre el espacio de una partícula H es isomorfo a un L 2 ( H r , d m gramo ) espacio de funcionales cuadrados integrables Ψ ( F ) , donde el argumento (el objeto del espacio de configuración) es un elemento F ∈ H r (el espacio real de Hilbert con los mismos elementos que H y producto escalar la parte real del producto escalar de H ); y la medida m gramo es una medida gaussiana sobre el espacio H r . Esto significa que cuando integras el funcional Ψ ¯ Ψ sobre la medida d m gramo ( F ) , estás haciendo una integración sobre todo lo posible F ∈ H r :

∫ H r Ψ ¯ ( F ) Ψ ( F ) d m gramo ( F ) .
Este es el campo cuántico análogo al usual L 2 ( R d , d X ) espacio de funciones cuadradas integrables con medida de Lebesgue comúnmente utilizado en QM de partículas (y es isomorfo a la formulación de espacio de Fock más común para el campo escalar).

Ahora el espacio de configuraciones H r ya es un espacio de distribuciones (si como siempre es separable, entonces es isomorfo a alguna L 2 ( R d , d X ) y ese es un subespacio de S ′ ( R d ) ), y no sólo de funciones suaves. Se intenta un procedimiento similar al considerar el espacio de configuración para el campo gravitatorio. El punto es que no es suficiente considerar configuraciones suaves: es necesario, definir adecuadamente una medida m , para tomar el cierre (en una topología adecuada imagino) de las configuraciones suaves, obteniendo así también objetos distribucionales. No conozco los detalles, pero parece que esto se puede hacer de una manera suficientemente rigurosa. De todos modos, el espacio de los estados cuánticos sigue siendo el espacio de los funcionales cuadrados integrables. Ψ ( F ) de estas configuraciones F , simplemente este último puede ser más general/singular que solo configuraciones suaves.

Creo que tienes toda la razón: en LQG, el espacio de Hilbert es L 2 ( A ¯ , m ) sobre el espacio de las conexiones de distribución A ¯ . Deben estar haciendo algo similar aquí para los estados coherentes, pero el lenguaje general me estaba confundiendo. ¡Gracias!
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