Prueba de que exp(−βH)exp⁡(−βH)\exp(-\beta H) es un operador de clase traza para el oscilador armónico

Observe que, a partir de la descomposición espectral de$e^{-\beta H}$tenemos eso

$$e^{-\beta H} \psi - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle-\sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle= \sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle$$ para cada vector$\psi \in {\cal H}= L^2(\mathbb R,dx)$. Por lo tanto $$\left|\left|\left(e^{-\beta H} - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right| = \left|\left|\left(\sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right|\:.$$ Tomando el$\sup$sobre el conjunto de vectores unitarios en ambos lados, también tenemos $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| = \left|\left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|\:,$$ pero desde$|| e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n||| = e^{-\beta (n+1/2)}|| |n\rangle \langle n|||= e^{-\beta (n+1/2)}$, también obtenemos $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left|\left|e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|= \sum_{n=N+1}^{+\infty}e^{-\beta (n+1/2)} = e^{-\beta/2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}(e^{-\beta})^n\to 0$$ si$N\to +\infty$porque $$\sum_{n=0}^{N}(e^{-\beta})^n \to \frac{1}{1-e^{-\beta}}\quad \mbox{if $N \to +\infty$}\:.$$ Por lo tanto$e^{-\beta H}$es el límite, con respecto a la topología de operadores uniforme, de una secuencia de operadores compactos $$A_N = \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|$$ $A_N$es compacto porque es de rango finito . Este es un resultado estándar en operadores compactos. (Vea la explicación a continuación).

Dado que el ideal de los operadores compactos se cierra en$\mathfrak B(\cal H)$con respecto a esa topología,$e^{-\beta H}$es compacto también.

Compacidad de operadores de rango finito . Compacidad para un operador$T$, significa que transforma la bola unitaria en un conjunto cuyo cierre es compacto. Si$Ran(T)$tiene dimensión finita, la bola unitaria$B$se envía a un conjunto acotado ($||T(B)|| \leq ||T|| 1$) en un subespacio cerrado que se puede identificar para$\mathbb C^{\dim(Ran(T))}$. Dado que los conjuntos acotados cerrados en$\mathbb C^n$son compactos,$\overline{T(B)}$es compacto en ese espacio. Las propiedades abstractas de compacidad (un conjunto es compacto en un espacio topológico si y solo si es compacto en un espacio subtopológico que lo contiene) implican que$\overline{T(B)}$también es compacto en todo el espacio de Hilbert.

COMENTARIO . hago hincapié en que

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!} \not \to e^{-\beta H}\quad \mbox{for $n \to +\infty$}$$ si el límite está referido a la topología uniforme . El límite es cierto solo en la topología de operadores fuertes , cuando se restringe el dominio de ambos lados al tramo de vectores$|n\rangle$, pero de ninguna manera es suficiente para concluir. En particular, los operadores $$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!}$$ no son compactos ya que ni siquiera están acotados! Así que tu idea no funciona como está, sino que hay que modificarla como te indiqué.