¿Es verdadera la siguiente generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Creo que su prueba para el caso$k = 2$y$n = 3$es válida.

Sin usar explícitamente la inducción matemática, como en la respuesta de Jorge, aunque finalmente siempre se necesita la inducción para justificar una prueba informal como esta, se puede ver que la desigualdad para general$n \geqslant 2$se sigue casi inmediatamente de la desigualdad de Cauchy, simplemente perdiendo la mayoría de los términos del producto expandido de la última$n - 1$sumas entre paréntesis, así:

$$\begin{multline*} \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^ka_{2,i}^2\right) \cdots \left(\sum_{i=1}^ka_{n,i}^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^ka_{2,i}^2 \cdots a_{n,i}^2\right) = \\ \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}^2\right) \left(\sum_{i=1}^k(a_{2,i} \cdots a_{n,i})^2\right) \geqslant \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}(a_{2,i} \cdots a_{n,i})\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^ka_{1,i}a_{2,i} \cdots a_{n,i}\right)^2. \end{multline*}$$

Esta prueba "regala" tanto que la desigualdad resultante, cuando$n > 2,$es muy débil Esto se ilustra por el hecho de que si hay$b_1, b_2, \ldots, b_n$tal que$a_{j,i} = b_j,$para$j = 1, 2, \ldots, n,$y$i = 1, 2, \ldots, k,$entonces la desigualdad se reduce a$(kb_1^2)(kb_2^2)\cdots(kb_n^2) \geqslant (kb_1b_2 \cdots b_n)^2,$es decir,$k^n \geqslant k^2,$que es de poco interés cuando$n > 2$!

Eso probablemente explica por qué el caso$n > 2$rara vez se menciona. encontré el caso$n = 3$dado como Ejercicio XVa, problema 37 en Clement V. Durell, Advanced Algebra , vol. III (Bell, Londres 1937). Una referencia más actualizada es el Ejercicio 1.3 en J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class (Cambridge University Press/Mathematical Association of America 2004). Steele da una prueba sorprendentemente complicada, por eso pensé que valía la pena dar esta muy simple. (En esencia, duplica la prueba de Jorge, pero parece que vale la pena repetir la idea con otras palabras).

Aquí hay un poco de contexto (es decir, es cierto, exagerado, vea el último párrafo de mi respuesta). La desigualdad que mencionas es verdadera y es un caso especial de la desigualdad de Hölder generalizada . Más precisamente, deja$a_1,a_2,\dots,a_n\in\ell^{n}$para algún entero dado$n\ge2$. Entonces Hölder generalizado te dice que

$$\lVert a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\rVert_{\ell^1}\le\lVert a_1\rVert_{\ell^n}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^n}.$$

Esto te dice que

$$\lVert a_1\rVert_{\ell^n}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^n}\le\lVert a_1\rVert_{\ell^2}\cdot\ldots\cdot\lVert a_n\rVert_{\ell^2}.$$

Tu caso, vectores en$\mathbb R^k$, son un caso especial de los anteriores, ya que un vector$a=(a^{(1)},\dots,a^{(k)})\in\mathbb R^k$siempre se puede incrustar en$\ell^n$como la secuencia

$$(a^{(1)},\dots,a^{(k)},0,0,\dots).$$

---

Finalmente quiero disculparme por usar un concepto, el$\ell^p$espacios (ver por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#The_p-norm_in_finite_dimensions y la siguiente sección), que definitivamente no se encuentran en la escuela secundaria 😅.

Estas pruebas asumen que está familiarizado con el concepto de inducción matemática.

La afirmación no se cumple para$n=1, k \neq 1$.

Para cada$k$, proceder por inducción sobre$n$(caso$n=2$es Cauchy-Schwarz). Entonces, podemos reducir al caso$n-1$como

$\left( \sum_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^k b_i^2 \right) \geq \sum_{i=1}^k (a_ib_i)^2$

Esta desigualdad se cumple porque$(a_ib_j)^2 \geq 0; i \neq j$. Más detalles quedan como ejercicio.

Suponga que wlog que todos los números$\{a_{i,j}\}$son no negativos. El caso$n=1,2$es claro, por lo que se asume como hipótesis de inducción que

$$\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{(n-1),j} \leq \left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{(n-1),j}^2\right)^{1/2}.$$ Definir$c_j = a_{n,j}/\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}$, entonces usando la hipótesis: $$\begin{align} \sum_{j=1}^kc_ja_{1,j}\cdots a_{(n-1),j} &= \sum_{j=1}^kc_j^{1/(n-1)}a_{1,j}\cdots c_j^{1/(n-1)}a_{(n-1),j} \leq\left(\sum_{j=1}^kc_ja_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^kc_ja_{(n-1),j}^2\right)^{1/2} \\&\leq\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{(n-1),j}^2\right)^{1/2}, \end{align}$$ desde$c_j \leq 1$para todos$j$. Sustituyendo de nuevo$a_{n,j}$, y multiplicando ambos lados por$\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}$: $$\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{n,j} \leq\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2},$$ por lo tanto, la desigualdad objetivo se prueba por inducción.

EDITAR: Otra prueba tonta. Dejar$\{x_{i,j}\}$sea ​​no negativo y suponga que$n \geq 2$, luego usando AM-GM

$$x_{1,j}\cdots x_{n,j}\leq \frac{x_{1,j}^n+\cdots+x_{n,j}^n}{n}.$$

Ahora, haz la sustitución$x_{i,j} = a_{i,j}/\left(\sum_{l=1}^k a_{i,l}^2\right)^{1/2}$, entonces desde$0\leq x_{i,j} \leq 1$

$$x_{1,j}\cdots x_{n,j}\leq \frac{x_{1,j}^n+\cdots+x_{n,j}^n}{n}\leq\frac{x_{1,j}^2+\cdots+x_{n,j}^2}{n}.$$ Sumando ambos lados a lo largo$j$da: $$\frac{\sum_{j=1}^ka_{1,j}\cdots a_{n,j}}{\left(\sum_{j=1}^ka_{1,j}^2\right)^{1/2}\cdots\left(\sum_{j=1}^ka_{n,j}^2\right)^{1/2}} \leq 1,$$ que es la desigualdad objetivo.