Demostrar desigualdades básicas de números complejos

Question

Demostrar desigualdades básicas de números complejos

desigualdad
Matemáticas
números complejos
análisis complejo
álgebra-precálculo

usuario198044

Dejar

z_{1} = a_{1} + b_{1} i

$z_1 = a_1 + b_1i$

z_{2} = a_{2} + b_{2} i

$z_2 = a_2 + b_2i$

dónde

| z_{j} | = \sqrt{a_{j}^{2} + b_{j}^{2}}

$|z_j| = \sqrt{a_j^2 + b_j^2}$

Probar

$| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$
$| z_{1} + z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |$ $|z_1 + z_2| \ge |z_1| - |z_2|$
$| z_{1} - z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |$ $|z_1 - z_2| \ge |z_1| - |z_2|$
$(2) ⟺ (3)$ $(2) \iff (3)$

Basé lo anterior en 3 y 4 en Variables complejas de Schaum a continuación:

No puedo usar coordenadas polares como se presentan más adelante. Estos se presentan en el contexto de la función de valor absoluto.

$L H S = \sqrt{(a_{1} + a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}$

R H S = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} + \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

$L H S = \sqrt{(a_{1} + a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}$

R H S = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} - \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} - \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

$L H S = \sqrt{(a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2}}$ $LHS = \sqrt{(a_1-a_2)^2 + (b_1-b_2)^2}$

R H S = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} - \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

$RHS = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} - \sqrt{a_2^2 + b_2^2}$

Esto parece ser precálculo, pero no lo veo. ¿Quizás me equivoqué en mi análisis complejo?

$L H S_{2} \geq L H S_{3}$ $LHS_2 \ge LHS_3$ eso prueba $\implies$ , pero que pasa $\impliedby$ ?

estocásticoboy321

Sugerencia para 1,2,3: La desigualdad de Cauchy-Schwarz produce

| u_{1} u_{2} | + | v_{1} v_{2} | \leq \sqrt{u_{1}^{2} + v_{1}^{2}} \times \sqrt{u_{2}^{2} + v_{2}^{2}}

$|u_1u_2 | + |v_1v_2| \le \sqrt{u_1^2 + v_1^2} \times \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$ para todos los reales

(u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2})

$(u_1,u_2,v_1,v_2)$

Respuestas (1)

Demostrar desigualdades básicas de números complejos

Sugerencia para 1,2,3: La desigualdad de Cauchy-Schwarz produce $|u_1u_2 | + |v_1v_2| \le \sqrt{u_1^2 + v_1^2} \times \sqrt{u_2^2 + v_2^2}$ para todos los reales $(u_1,u_2,v_1,v_2)$

Miguel · Answer 1

Considere el conjugado $\bar{z} = x - yi$ de un número complejo $z = x + yi$ . Tiene algunas propiedades elementales como:

$\bar{\bar{z}} = z$
$\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
$|z|^2=z \cdot \bar{z}$

Además, una propiedad obvia de los números complejos es

$x =Re(z) \leq |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Uno verifica los hechos anteriores con un cálculo directo. Luego se sigue la desigualdad triangular:

$|z + w|^2 = (z + w)\cdot \overline{(z + w)} = (z + w)\cdot(\bar{z} + \bar{w}) = |z|^2 + z\cdot\bar{w} + \bar{z} \cdot w + |w|^2$

Pero $\overline{z\cdot\bar{w}} = \bar{z} \cdot w$ , y $\overline{z\cdot\bar{w}} + \bar{z} \cdot w = 2Re(\bar{z}\cdot w)$ - Otro cálculo sencillo. También, $2Re(\bar{z}\cdot w) \leq 2 |\bar{z}\cdot w| = 2 |z||w|$ - (desde $|z\cdot w|^2 = (z \cdot w)\cdot \overline{z \cdot w} = |z|^2 |w|^2$

Por lo tanto,

$|z|^2 + z\cdot\bar{w} + \bar{z} \cdot w + |w|^2 = |z|^2 + 2Re(\bar{z}\cdot w) + |w|^2 \leq |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2 =(|z| + |w|)^2$

Poniendolo todo junto

$|z + w|^2 \leq (|z| + |w|)^2 \implies |z + w| \leq (|z| + |w|)$

2 y 3 en su pregunta siguen un buen truco usando la desigualdad del triángulo, para (2):

$|z| = |z + w - w| \leq |z + w| + |w| \implies |z| - |w| \leq |z + w|$

Demostrar desigualdades básicas de números complejos

usuario198044

estocásticoboy321

Respuestas (1)

Miguel

¿Existe una forma natural de demostrar que las identidades trigonométricas también son válidas para los números complejos?

Aplicaciones geométricas de números complejos

|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Una desigualdad que involucra dos números complejos

¿Cómo combinar dos desigualdades (números complejos)?

¿Es correcta esta notación de intervalo para la solución de un problema de desigualdad?

¿Es verdadera la siguiente generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Desigualdad usando Cauchy Schwarz

Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

Prueba de la propiedad de los números complejos