Desigualdad usando Cauchy Schwarz

Asumiendo$x, y, z \geq 0$, la desigualdad de Cauchy-Schwarz da

$$\begin{align*} &\left((y + z) + (z + x) + (x + y)\right)\left(\frac{x^2}{y + z} + \frac{y^2}{z + x} + \frac{z^2}{x + y}\right) \\ &\geq \left(\sqrt{y + z}\sqrt{\frac{x^2}{y + z}} + \sqrt{z + x}\sqrt{\frac{y^2}{z + x}} + \sqrt{x + y}\sqrt{\frac{z^2}{x + y}}\right)^2 \\ &= (x + y + z)^2 \end{align*}$$

y puedes dividir$(y + z) + (z + x) + (x + y) = 2(x + y + z)$en ambos lados para obtener su desigualdad.

Escribir$a:=y+z,\,b:=z+x,\,c:=x+y$(una estrategia común con$3$-problemas de simetría cíclica variable, especialmente si$y+z$etc. aparece), por lo que la desigualdad conjeturada es$(a+b+c)\sum_\text{cyc}\frac{x^2}{a}\ge(x+y+z)^2$. ahora toma$a_1=\sqrt{a},\,b_1=\frac{x}{\sqrt{a}}$etc.

Tenga en cuenta que esta prueba nunca se usó$xyz=1$. Multiplicando cada uno de$x,\,y,\,z$por$\lambda>0$también multiplica ambos lados de tu desigualdad por$\lambda$y conserva su verdad, por lo que cualquier prueba que obtengamos solo debería necesitar usar$xyz>0$.