Comprender los valores absolutos con desigualdades

Es incorrecto multiplicar ambos lados por$1-|x|$a menos que incluya la condición de que$1-|x|>0$.

Debe considerar los otros casos por separado. Para$1-|x|<0$, la desigualdad se invertirá.

• Una fracción$\frac ab$es mayor (o igual) que$1$en 2 casos posibles y mutuamente excluyentes:

(1)$a$y$b$son negativos y$|a|\geq |b|$

(2)$a$y$b$son positivos y$a \geq b$($a, b \neq 0$)

• ¿Podríamos estar en el primer caso? Primero requeriría que tanto el numerador como el denominador fueran negativos.

$4|x| - 2 \lt 0 \iff 4|x| \lt 2\iff |x|\lt \frac 12 \iff x\in (-\frac 12 ; \frac 12)$

$1-|x| \lt 0 \iff - |x| \lt -1 \iff |x| \gt 1 \iff x\lt -1 \lor x\gt 1$

Vemos que el primer caso requiere condiciones inconsistentes.

• Así que estamos en el segundo caso, en el que ambos$a$y$b$son positivos y$a\geq b$( y$a, b \neq 0$).

Por lo tanto, necesitamos:

$4|x| -2 \gt 0 \iff |x|\gt \frac 12 \iff (x \lt - \frac 12 \lor x\gt \frac 12)$

y

$1-|x| \gt 0 \iff |x| \lt 1 \iff ( x\gt -1 \land x\lt 1)$

lo que significa que o bien$x\in (-1; -\frac 12)$O$x\in (\frac 12; 1)$

• Teniendo en cuenta estas condiciones, podemos resolver la inecuación simple$a\geq b$:

$4|x| - 2 \geq 1 - |x|$

$\iff 5|x| -3 \geq 0$

$\iff |x| \geq \frac 35$

$\iff (x \geq \frac 35) \lor (-x \geq \frac 35)$

$\iff (x \geq \frac 35) \lor (x \leq \ -\frac 35)$

• Combinando nuestras condiciones, a saber que:$x\in (-1; -\frac 12)$O$x\in (\frac 12; 1)$, y nuestra solución :

finalmente obtenemos:

$x\in (-1 ; - \frac 35]$O$x\in [\frac 35; 1)$.

Sin casos:

Es