Algunas pruebas de teoría de conjuntos

Mientras leía "Understanding Analysis" de Stephen Abbott, uno de los ejercicios consistía en verificar si la siguiente afirmación era correcta y, de ser así, probarla.

1. Si$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4 · · ·$son todos conjuntos que contienen un número infinito de elementos, entonces la intersección$\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$es infinito también.

Sería de gran ayuda si alguien pudiera leer mi prueba y decirme si hay algún error. También quiero saber si es coherente y si hay muy poco/demasiado detalle.

Lema:$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$

Dejar$x\in \bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$, entonces por definición de intersección,$x\in A_1, x \in A_2...x\in A_{k}$. Por eso$x\in A_k$, y$x\in A_1, x\in A_2...x\in A_{k-1}$.Resulta que$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \subseteq\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$. Dejar$x\in\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$, entonces por definición de intersección,$x\in A_k$, y$x\in A_1,x\in A_2...x\in A_{k-1}$. Por eso$x\in A_1,...,x\in A_k$. De este modo$x\in \bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$. De este modo$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \supseteq\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$. Podemos concluir que$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$.

Para probar 1) usamos la inducción matemática. Dejar$S$ser un subconjunto de$\mathbb{N}$para que si$k \in S$, si$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_k$son todos conjuntos que contienen un número infinito de elementos, entonces la intersección$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$es infinito también. Es trivial que este sea el caso cuando$k=1$. Que la propiedad se cumpla por algunos$k \in \mathbb{N}$, entonces probaremos que$k+1$también cumple esa propiedad (y por lo tanto también está en$S$). Dejar$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_{k+1}$sean todos los conjuntos que contengan un número infinito de elementos. Del lema sabemos que$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \cap A_{k+1}$. Además,$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \cap A_{k+1}=A_{k+1}$, desde$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_{k+1}$. Por eso$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n=A_{k+1}$, y desde$A_{k+1}$es un conjunto con un número infinito de elementos, también lo es$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n$. Por eso$k+1 \in S$. por inducción,$S = \mathbb{N}$. Por lo tanto, si$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4 · · ·$son todos conjuntos que contienen un número infinito de elementos, entonces la intersección$\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$es infinito también.