¿Cómo se muestra la monotonicidad de las normas ℓpℓp\ell^p?

Tienes razón @ usuario1736.

Si$0<a\leq1$entonces

$$\left(\sum |a_n|\right)^a\leq \sum|a_n|^a.\tag{1}$$

Por lo tanto para$p\leq q$tenemos$p/q\leq1$, y

$$\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{1/q}=\left(\sum_n |x_n|^q\right)^{p/qp}\leq \left(\sum_n |x_n|^{q(p/q)}\right)^{1/p}=\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$$

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Editar: ¿Cómo probamos (1) (para$0<a<1$)?

Paso 1. Es suficiente probar esto para sucesiones finitas porque entonces podemos tomar límites.

Paso 2. Para probar el enunciado para sucesiones finitas es suficiente probar

$$(x+y)^a\leq x^a+ y^a,\quad\text{ for $x,y>0$}\tag{2}$$ porque el caso finito es solo iteraciones de (2).

Paso 3. Para probar (2) basta probar

$$(1+t)^a\leq 1+t^a,\quad\text{ where $0<t<1$} \tag{3}$$

Ahora, la derivada de la función$f(t)=1+t^a-(1+t)^a$es dado por$f'(t) = a(t^{a-1} - (1+t)^{a-1})$y es positivo ya que$a>0$y$t\mapsto t^b$es decreciente para negativo$b$. Por eso,$f(t)\geq f(0)=0$para$0<t<1$, lo que prueba (3).

No creo que necesite probar la desigualdad que tiene en la pregunta; eso es un poco demasiado fuerte. Tenga en cuenta que$\{x_n\}\in\ell_p$si y solo si$\left(\sum|x_n|^p\right)^{1/p}$es finito si y solo si$\sum|x_n|^p\lt\infty$. Así que realmente solo necesitas demostrar que si$\sum|x_n|^p$es finito, entonces$\sum|x_n|^q$es finito, suponiendo$p\leq q$.

Lo que quieres recordar son dos cosas:

1. si$p\leq q$, entonces para$|x|>1$tienes$|x|^p\leq|x|^q$, pero si$|x|<1$, entonces$|x|^p \geq |x|^q$.
2. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$converge si y solo si para todo$m\geq 1$,$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$converge

El$\boldsymbol{\ell^{2^m}}$La norma es menor que la$\boldsymbol{\ell^1}$Norma

Asumir$b_k\ge0$,

$$\begin{align} \left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^2 &=\sum_{k=1}^nb_k^2+2\!\!\!\sum_{\substack{j,k=1\\j\lt k}}^n\!\!b_jb_k\\ &\ge\sum_{k=1}^nb_k^2\tag1 \end{align}$$ Por lo tanto, por inducción, tenemos que $$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{2^m}\ge\sum_{k=1}^nb_k^{2^m}\tag2$$

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Interpolar

Para$1\lt r\lt2^m$,

$$\begin{align} \sum_{k=1}^nb_k^r &=\sum_{k=1}^n\left(b_k^{2^m}\right)^{\frac{r-1}{2^m-1}}b_k^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag3\\ &\le\left(\sum_{k=1}^nb_k^{2^m}\right)^{\frac{r-1}{2^m-1}}\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag4\\ &\le\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{2^m\frac{r-1}{2^m-1}}\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^{\frac{2^m-r}{2^m-1}}\tag5\\ &=\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^r\tag6 \end{align}$$ Explicación:
$(3)$:$r=2^m\frac{r-1}{2^m-1}+\frac{2^m-r}{2^m-1}$
$(4)$: Poseedor
$(5)$: Desigualdad$(2)$
$(6)$:$r=2^m\frac{r-1}{2^m-1}+\frac{2^m-r}{2^m-1}$

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Aplicar para$\boldsymbol{\ell^p}$y$\boldsymbol{\ell^q}$

Dejar$r=\frac qp$, y$b_k=a_k^p$, entonces$(6)$dice

$$\sum_{k=1}^na_k^q\le\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{q/p}\tag7$$ que es equivalente a $$\left(\sum_{k=1}^na_k^q\right)^{1/q}\le\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\tag8$$

Dejar$|x_i|^p=a_i$y$\frac{q}{p}=k$.

De este modo,$k\geq1$y tenemos que demostrar que:

$$(a_1+a_2+...+a_n)^k\geq a_1^k+a_2^k+...+a_n^k.$$ Ahora deja$a_1\geq a_2\geq...\geq a_n$.

Así, desde$f(x)=x^k$es una función convexa y

$$(a_1+a_2+...+a_n,0,...,0)\succ(a_1,a_2,...,a_n),$$ por Karamata obtenemos: $$(a_1+a_2+...+a_n)^k+0^k+...+0^k\geq a_1^k+a_2^k+...+a_n^k,$$ que es nuestra desigualdad.

Para completar, agregaré esto como respuesta (es una ligera adaptación del argumento de AD ):

Para$a\in[0,1]$y cualquier$y_i\geq 0, i\in\mathbb N$, con al menos una$y_i\neq0$y la convención que$y^0=1$para cualquier$y\geq0$,

$$\begin{equation}\label{*}\tag{*}\sum_{i=1}^\infty \frac{y_i^a}{\left(\sum_{j=1}^\infty y_j\right)^a}=\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{y_i}{\sum_{j=1}^\infty y_j}\right)^a\geq \sum_{i=1}^\infty \frac{y_i}{\sum_{j=1}^\infty y_j}=1,\end{equation}$$ donde he usado$y^a\geq y$cuando sea$y\in[0,1]$y$a\in[0,1]$. (Esto se puede derivar, por ejemplo, de la concavidad de$y\mapsto y^a$.)

Para$p=q$, no hay nada que probar. Para$1\le p< q\le\infty$y$x=(x_i)_{i\in\mathbb N}\in \ell^q$, colocar$a\overset{\text{Def.}}=\frac pq\in[0,1]$y$y_i\overset{\text{Def.}}=\lvert x_i\rvert^q\ge0$. Entonces$\eqref{*}$rendimientos

$$\begin{equation*} \sum_{i=1}^\infty \lvert x_i\rvert^p\geq\left(\sum_{i=1}^\infty \lvert x_i\rvert^{q}\right)^{\frac pq}, \end{equation*}$$ es decir $$\begin{equation*} \lVert x\rVert_{\ell^q}\le\lVert x\rVert_{\ell^p}. \end{equation*}$$