Encuentre el parámetro de la ecuación cuadrática tal que sea positivo/negativo en un rango

Encontrar$m\in\mathbb{R}$tal que la desigualdad$x^2-(m+2)x+5-m<0$es válida$\forall~x\in(1;3)$.

Cómo lo pienso:

Colocar$x^2-(m+2)x+5-m=0$

La parábola estará orientada hacia arriba. Para satisfacer la hipótesis necesitamos las siguientes condiciones:

$x_1\leq1,~x_2\geq3$

Escribe coeficientes:

$\begin{cases} a=1 \\ b=-(m+2) \\ c=5-m \end{cases}$

Calcular discriminante:

$\Delta=b^2-4ac=m^2+8m-16$

Pon la condición$\Delta>0$por lo que la ecuación tendrá 2 raíces reales distintas:

$m^2+8m-16>0$

Colocar$m^2+8m-16=0$y encuentra las raices:

$m_1=-4(\sqrt{2}+1),~m_2=4(\sqrt{2}-1)$

$m\in(-\infty;m_1)\cup(m_2;\infty)\Rightarrow m\in\big(-\infty;-4(\sqrt{2}+1)\big)\cup\big(4(\sqrt{2}-1);\infty\big)$

Ahora encuentra las raíces de la ecuación inicial:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+2\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

Sustituir en las condiciones:

$\frac{m+2-\sqrt{\Delta}}{2}\leq1\Rightarrow m\leq\sqrt{\Delta}$

$\frac{m+2+\sqrt{\Delta}}{2}\geq3\Rightarrow -m+4\leq\sqrt{\Delta}$

Sustituto$\Delta$y resolver el sistema de desigualdades:

$\begin{cases} m\leq\sqrt{m^2+8m-16} \\ -m+4\leq\sqrt{m^2+8m-16} \end{cases}$

Podemos elevar al cuadrado ambos lados a menos que el lado izquierdo sea negativo . Ejemplo :$-2<1$pero$(-2)^2<1^2$Es falso. ¿Cómo puedo proceder? Una idea sería hacer una tabla de signos para$m$y$-m+4$y tomar en consideración todos los casos posibles, luego tomar la reunión al final. ¿Hay una manera más fácil de resolver estas ecuaciones con raíces cuadradas? Además, ¿estoy complicando demasiado este problema? Gracias por la ayuda