¿Por qué se requiere que las funciones de onda desaparezcan en el infinito?

De hecho, no es más que un requisito vago y, en rigor, falso que se puede encontrar en algunos libros de mentalidad física (también de muy buen nivel).

Sin embargo, existen situaciones físicas en las que la regularidad de las funciones utilizadas implica que deben desaparecer en el infinito. Si se está resolviendo la ecuación estacionaria de Schroedinger y el potencial es lo suficientemente regular, los vectores propios deben ser en consecuencia regulares debido a los teoremas conocidos (especialmente debido a Weyl) sobre la regularidad elíptica . En algunos casos la regularidad más el requisito de que la función pertenezca a$L^2$y cierto control del valor asintótico de algunas derivadas (que surgen de una buena forma asintótica del potencial) implica que la función de onda debe desaparecer en el infinito.

Por otro lado, desde un punto de vista físico, es imposible preparar un estado en el espacio trabajando arbitrariamente lejos de una posición dada donde se localizan los instrumentos físicos. Por lo tanto, es razonable suponer que los estados físicamente realizables se describen mediante funciones de onda que se desvanecen fuera de una región espacial suficientemente grande. Esto, a su vez, implica un requisito correspondiente sobre observables físicamente accesibles y su realización realista (no tiene sentido suponer que se llena el universo con detectores). Sin embargo, estos son requisitos físicos que no deben confundirse con restricciones matemáticas .

En cambio, desde un punto de vista matemático puro, ningún requisito sobre un decaimiento rápido en el infinito se aplica a las funciones de vawe en$L^2$(es fácil de construir suave$L^2(\mathbb R)$funciones con oscilaciones cada vez mayores como$x\to \infty$y operadores hamiltonianos fuertemente no físicos correspondientes cuyos estos monstruos son funciones propias). Tampoco se aplica ninguna condición de regularidad fuerte. De hecho, estas funciones están definidas hasta conjuntos de medida cero y todos los operadores que representan observables, para ser correctamente autoadjuntos (no simplemente hermitianos), son la clausura de operadores diferenciales cuyos dominios finales son, por lo tanto, espacios de tipo Sobolev: se requieren derivadas para existir en un sentido débil a lo sumo.

Las únicas excepciones son probablemente las funciones propias de los operadores hamiltonianos con potenciales suficientemente regulares, donde tanto la regularidad de Sobolev como los resultados de regularidad elíptica pueden aplicarse y fuera de las singularidades del potencial, las funciones propias son$C^2$(o incluso suave) en un sentido propio.

La restricción al espacio de Schwartz puede tener sentido porque la mayoría de los operadores tienen dominios de autoadjunción que incluyen ese espacio (que a veces también es un núcleo de los operadores) y también porque el espacio de Schwartz es denso en$L^2$.

Sin embargo, resulta ser una restricción demasiado fuerte también en algunos casos elementales. Piense en un operador hamiltoniano 1D con un potencial con una leve discontinuidad. No admite funciones propias de tipo Schwartz.

ejemplo _

Construyo aquí un verdadero monstruo sin significado físico, pero permitido por los requisitos matemáticos de QM.

Considere una función$\psi \in L^2(\mathbb R)$construido de esta manera. alcanza el valor$0$en todas partes excepto en cada intervalo

$$I_n= \left(n -\frac{1}{2(n^4+1)^{2}},\:\: n+ \frac{1}{2(n^4+1)^{2}}\right)$$ por lo tanto de longitud$(n^4+1)^{-2}$y centrado en cada$n\in \mathbb Z$. En estos intervalos $$\psi(x) = n^2 \quad x\in I_n\:.$$ Está claro que$\int_{\mathbb R} |\psi(x)|^2 dx$por alguna constante$C>0$satisface $$\int_{\mathbb R} |\psi(x)|^2 dx \leq C \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^4}{(n^4+1)^2} <+\infty\:.$$ Está claro que esta función oscila con una oscilación cada vez mayor como$|x|\to +\infty$, pero estas oscilaciones son cada vez más agudas.

A continuación, modifique suavemente$\psi$en cada intervalo$I_n$para producir una función suave no negativa$0\leq \phi(x) \leq \psi(x)$con$\phi(n)=\psi(n)$preservando así la finitud de la integral de$|\phi|^2$.

Definir finalmente

$$\Psi(x) := \phi(x) + \frac{1}{1+x^2}\:.$$ Es fácil ver que, desde$\phi(x)\geq 0$, debe ser $$\Psi(x) >0\tag{1}$$ y $$\Psi \in L^2(\mathbb R)\cap C^\infty(\mathbb R)$$ porque$\Psi$es suma de dos$L^2$funciones (suaves) y$L^2(\mathbb R)$es un espacio vectorial. Una posible forma cualitativa de$\Psi$está representado aquí

Observa eso$\Psi$es una función propia (un vector propio propio ya que pertenece a$L^2$), del hamiltoniano

$$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + U(x)\:,$$ dónde $$U(x) := \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Psi''(x)}{\Psi(x)}$$ es suave por construcción, en particular, (1) sujeción.

Se mantiene

$$H\Psi = E \Psi$$ con$E=0$. Obviamente, toda esta construcción no tiene sentido físico, pero está permitida por los requisitos generales del formalismo QM.

Esto podría ser capaz de responder a su pregunta en parte. Sin embargo, el Prof. Moretti tiene una mejor respuesta.

Considere problemas unidimensionales, en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R})$.

Las funciones de onda, como las llama la gente, suelen ser funciones propias del hamiltoniano, es decir, el operador de energía. Incluso de lo contrario, están asociados con algún operador físico$A$Hecho de$X$o$P$. cualquier espacio$A$se define en, estas funciones de onda se encuentran en ese espacio.

A menos que defina estos operadores correctamente, para empezar no son autoadjuntos; olvídate de sus sumas o composiciones.

Del teorema de Stone, definimos$X$y$P$como generadores de transformaciones unitarias apropiadas y el teorema arroja un dominio especial para la autoadjunción. Los dominios (y sus imágenes debajo del mapa) no son idénticos, no podemos definir composiciones como$X\circ X$y$P\circ P$sobre ellos por ejemplo.

Sin embargo, nos salimos con la nuestra usando el espacio de Schwartz.$S(\mathbb{R})$como dominio para todos ellos. Es un subconjunto denso de$L^2$que se mapea sobre sí mismo bajo la acción habitual de$X$y$P$. Entonces podemos definir todo tipo de sumas y composiciones en el espacio de Schwartz. Sin embargo, su autoadjunción no está garantizada ni siquiera entonces. Pero para el mejor ejemplo que siempre damos, el oscilador armónico,

$$H = X\circ X + P\circ P$$

es esencialmente autoadjunto. Por lo tanto, su extensión autoadjunta única$\bar{H}$tiene todas sus funciones propias.

Sin embargo, las funciones de onda no necesitan ser realmente funciones propias. Podemos preparar estados como un paquete de ondas gaussianas. No estoy muy seguro de lo que se les puede permitir en pleno rigor.

Entonces, para responder a su pregunta lo mejor que pueda, de hecho, las funciones de onda a menudo se encuentran en el espacio de Schwartz. Pero la gente puede encontrar algunos ejemplos locos de otra manera. No estoy muy familiarizado con eso.