Conexión de la ecuación de Schrödinger, la unitaridad y la preservación de las normas de los estados en la evolución del tiempo

Question

Conexión de la ecuación de Schrödinger, la unitaridad y la preservación de las normas de los estados en la evolución del tiempo

usuario1936752

Esto puede ser realmente básico, pero tengo problemas para conectar los siguientes problemas:

1) La norma 2 para vectores de estado se conserva durante la evolución temporal

2) El hamiltoniano es un operador hermitiano. Con la ecuación de Schrödinger, podemos comprender cómo actúa la evolución del tiempo en un estado.

Como consecuencia de 1) o 2), podemos demostrar que la evolución temporal es unitaria. Pero no veo por qué 1) o 2) deben ser verdaderos para empezar. Además, si solo uno de ellos es cierto, ¿entonces me encuentro con algún tipo de inconsistencia?

Comencemos desde 1) - Cuando consideramos la evolución temporal de los estados, ¿por qué existe el requisito de que se conserven los productos internos? Obviamente, no quiero asumir que la evolución es unitaria ya que ese es un razonamiento circular. ¿Qué importa si no logro preservar la norma 2 de algún par arbitrario de estados, ya que ambos experimentan una evolución en el tiempo?

En cuanto a 2), esta respuesta ( https://physics.stackexchange.com/a/264439/52363 ) fue bastante esclarecedora. Si los operadores no tienen que ser hermitianos, tampoco lo es el hamiltoniano. Como resultado, puedo obtener una evolución no unitaria que, por supuesto, no conserva la norma 2.

Creo que estoy un poco confundido con la forma en que estos conceptos se unen, ¡así que cualquier ayuda es muy apreciada! ¿Qué suposiciones vienen primero y por qué terminamos con la teoría cuántica que tenemos hoy?

Fotón

1) debe cumplirse ya que, de lo contrario, la probabilidad de medir "lo que sea" diferiría de 1.

usuario1936752

@Photon, ¿podría hacer esa declaración más precisa? ¿estamos hablando de

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle \psi\vert\psi \rangle$ o entre cualquier estado arbitrario, es decir

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle \phi\vert\psi \rangle$

Fotón

Estamos hablando de la norma (cuadrada), no del producto escalar:

⟨ ψ | ψ ⟩ = \int ψ^{⋆} (X) ψ (X) d^{3} X = \int | ψ (X) |^{2} d^{3} X = \int ρ (X) d^{3} X

$\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ dónde

ρ

$\rho$ es la densidad de probabilidad. La integral sobre todo el espacio de

ρ

$\rho$ debe ser igual a 1.

una mente curiosa

Las suposiciones que vienen "primero" dependen de cómo quieras hacer la mecánica cuántica. Cuando tienes una teoría con un montón de afirmaciones que pueden derivarse unas de otras dada una de ellas, cuál de ellas viene "primero" es una pregunta sin sentido: es una cuestión de gusto cuál de estas afirmaciones puedes motivar mejor. aceptar como un axioma, pero no hay nada intrínseco a la teoría que lo haga mejor o peor que cualquier otra elección.

usuario1936752

@ACuriousMind, bastante justo. En este caso, ¿significa que tanto 1) como 2) son suposiciones independientes? Y si asumo 1) pero no 2), ¿seguiré obteniendo evolución unitaria o algo más?

Respuestas (1)

Conexión de la ecuación de Schrödinger, la unitaridad y la preservación de las normas de los estados en la evolución del tiempo

1) debe cumplirse ya que, de lo contrario, la probabilidad de medir "lo que sea" diferiría de 1.
@Photon, ¿podría hacer esa declaración más precisa? ¿estamos hablando de $\langle \psi\vert\psi \rangle$ o entre cualquier estado arbitrario, es decir $\langle \phi\vert\psi \rangle$
Estamos hablando de la norma (cuadrada), no del producto escalar: $⟨ ψ | ψ ⟩ = \int ψ^{⋆} (X) ψ (X) d^{3} X = \int | ψ (X) |^{2} d^{3} X = \int ρ (X) d^{3} X$ $\langle \psi|\psi\rangle = \int \psi^\star(x)\psi(x)d^3x = \int |\psi(x)|^2d^3x=\int \rho(x)d^3x$ dónde $\rho$ es la densidad de probabilidad. La integral sobre todo el espacio de $\rho$ debe ser igual a 1.
Las suposiciones que vienen "primero" dependen de cómo quieras hacer la mecánica cuántica. Cuando tienes una teoría con un montón de afirmaciones que pueden derivarse unas de otras dada una de ellas, cuál de ellas viene "primero" es una pregunta sin sentido: es una cuestión de gusto cuál de estas afirmaciones puedes motivar mejor. aceptar como un axioma, pero no hay nada intrínseco a la teoría que lo haga mejor o peor que cualquier otra elección.
@ACuriousMind, bastante justo. En este caso, ¿significa que tanto 1) como 2) son suposiciones independientes? Y si asumo 1) pero no 2), ¿seguiré obteniendo evolución unitaria o algo más?

Juan Donne · Answer 1

La mayor parte de la pregunta ya ha sido respondida en los comentarios. Voy a resumir y ampliar algunos de los puntos.

El OP pregunta por qué tenemos el requisito de que la norma 2 de los vectores se conserve bajo la evolución del tiempo. La respuesta, ya dada en los comentarios, es la siguiente. Dejar $U(t)$ ser el operador de evolución temporal, y $\lvert \psi(t) \rangle$ el estado del sistema en el momento $t$ . Entonces $\lvert \psi(t) \rangle = U(t)\lvert \psi(0) \rangle$ dónde $\lvert \psi(0) \rangle$ es el estado inicial. Insistimos en que la función de onda está normalizada, lo que en la interpretación habitual significa que las probabilidades "suman 1". Así que si $\langle \psi(0)\lvert \psi(0) \rangle=1$ . Por lo tanto, requerimos que $U(t)$ es unitaria para garantizar que la función de onda se normalice en todo momento.

Si la evolución del tiempo no fuera unitaria, entonces podrías tener $\langle \psi(t)\lvert \psi(t) \rangle \neq 1$ . Si es mayor que uno, entonces no tiene sentido (siempre que crea que la función de onda se puede interpretar como una amplitud de probabilidad). Si es menos de uno, entonces su sistema está "filtrando" información. Esto también es una tontería en la interpretación habitual. Algunas personas usan esto para modelar efectos disipativos usando un potencial imaginario, que se traduce en hamiltoniano no hermitiano y, por lo tanto (si crees en Schrödinger) evolución no unitaria.

Como la pregunta que vinculó señala correctamente, necesitamos que los operadores correspondientes a los observables sean normales. Esto se debe a que, según el teorema espectral, esto significa que son diagonalizables por un conjunto ortogonal, que es algo que necesitamos para que las mediciones tengan sentido. Tenga en cuenta, sin embargo, que podemos construir un hamiltoniano hermitiano a partir de operadores no normales. El ejemplo típico es el oscilador armónico, para el cual $H=a^\dagger a$ , pero $a$ no es normal Si requerimos que los valores propios de un operador normal sean reales, entonces el operador es hermitiano. ¿Por qué hacemos esto? Es a lo que estamos acostumbrados. Los valores propios de posición, momento y energía tienen una interpretación simple si son reales. ¿Y si fueran complejos? Esto sucede cuando haces dispersión, para la cual la función de onda no es normalizable, y puedes obtener impulsos y energías complejos, que en ese contexto pueden interpretarse como tiempos de caída (ver estas notas, página 312 en adelante ) . Sin embargo, no está claro cómo interpretarlos en general.

Podemos resumir la cadena lógica:

las funciones de onda son amplitudes de probabilidad ⟹ la evolución del tiempo debe ser unitaria

$\textrm{wavefunctions are probabilty amplitudes} \implies \textrm{time evolution should be unitary}$

observables dan medidas reales ⟹ los operadores correspondientes deben ser hermitianos

$\textrm{observables give real measurements} \implies \textrm{corresponding operators should be hermitian}$

La ecuación de Schrödinger se cumple \Leftrightarrow la evolución temporal está dada por {mi}^{- i H t}

$\textrm{Schrodinger equation holds} \Leftrightarrow \textrm{time evolution is given by } e^{-iHt}$

Entonces, para responder a su pregunta en los comentarios, si asume 1) pero no 2) aún obtiene la evolución del tiempo unitario, sin embargo, no necesariamente conoce su expresión matemática.

Sin embargo, tenga en cuenta que hay casos en QM en los que queremos interpretar las cosas de manera diferente. El ejemplo más común son los estados de dispersión, cuyas funciones de onda no se interpretan como amplitudes de probabilidad.

Conexión de la ecuación de Schrödinger, la unitaridad y la preservación de las normas de los estados en la evolución del tiempo

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Fotón

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Fotón

una mente curiosa

usuario1936752

Respuestas (1)

Juan Donne

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