Evolución del tiempo en el espacio de estado abstracto de la mecánica cuántica

Question

Evolución del tiempo en el espacio de estado abstracto de la mecánica cuántica

Oro

Como he aprendido, el primer postulado de la Mecánica Cuántica se puede enunciar de la siguiente manera:

Los estados de un sistema cuántico se describen mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo $\mathcal{H}$ .

Luego, el libro enfatiza que $\mathcal{H}$ no es necesariamente $L^2(\mathbb{R}^n)$ para algunos $n$ , es decir, no es necesariamente el espacio de las funciones de onda. El autor dice un elemento $\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}$ en lugar de ser una función de onda es un objeto abstracto que contiene toda la información sobre el sistema en ese estado.

En ese escenario, según entendí, las funciones de onda aparecen como una posible representación de los estados del sistema en el caso de que estemos tratando con una partícula sin espín. En ese caso, para cada ket $\left|\psi\right\rangle$ uno asocia una función $\psi \in L^2(\mathbb{R}^n)$ y uno tiene $\left\langle x\right|$ siendo definido por

⟨ X | ψ ⟩ = ψ (X)

$\left \langle x |\psi\right\rangle=\psi(x)$

para todos $x\in \mathbb{R}^n$ .

Ahora, la evolución de una función de onda viene dada simplemente por la ecuación de Schroedinger. En otras palabras, la evolución $t\mapsto \Psi(\cdot ,t)$ con $\Psi(\cdot, t)\in L^2(\mathbb{R}^n)$ es dado por

- i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} (X, t) = \hat{H} Ψ (X, t)

$-i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t)$

dónde $\hat{H} : L^2(\mathbb{R}^n)\to L^2(\mathbb{R}^n)$ es el operador hamiltoniano para la partícula.

Pero ¿qué pasa con el caso general? Si $\mathcal{H}$ es el espacio de Hilbert para cierto sistema cuántico y si tenemos un estado inicial $\left|\psi_0\right\rangle$ dado, ¿cuál es la evolución temporal en este caso? En mi opinión, no puede ser la ecuación de Schrödinger tal cual, porque los kets $\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}$ no son funciones.

Considerando esto, ¿cómo se trata la evolución temporal de los sistemas cuánticos generales en este formalismo de espacio de estado abstracto?

alfredo centauro

La respuesta corta es esta:

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ es una función de tiempo de valor ket que asocia un ket (vector de estado) con cada valor de

t

$t$ . La ecuación abstracta de Schrödinger es equivalente a

| ψ (t + d t) ⟩ = | ψ (t) ⟩ - \frac{i}{ℏ} H | ψ (t) ⟩ d t

$|\psi(t + dt)\rangle = |\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar}H|\psi(t)\rangle dt$

Respuestas (2)

Evolución del tiempo en el espacio de estado abstracto de la mecánica cuántica

La respuesta corta es esta: $|\psi(t)\rangle$ es una función de tiempo de valor ket que asocia un ket (vector de estado) con cada valor de $t$ . La ecuación abstracta de Schrödinger es equivalente a $| ψ (t + d t) ⟩ = | ψ (t) ⟩ - \frac{i}{ℏ} H | ψ (t) ⟩ d t$ $|\psi(t + dt)\rangle = |\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar}H|\psi(t)\rangle dt$

una mente curiosa · Answer 1

La ecuación de Schrödinger no se limita a ningún tipo particular de espacio de Hilbert. No hay problema con los kets abstractos.

Dado un espacio de estados $\mathcal{H}$ , un estado de Schrödinger (o dependiente del tiempo) viene dado por un mapa (suave)

| ψ (\dot{}) ⟩ : R \to H, t \mapsto | ψ (t) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle : \mathbb{R} \to \mathcal{H}, t \mapsto \lvert \psi(t) \rangle$ entonces el estado de Schrödinger

| ψ (\dot{}) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle$ es en

C^{\infty} (R, H)

$C^\infty(\mathbb{R},\mathcal{H})$ y la evolución temporal viene dada por el cumplimiento de la ecuación de Schrödinger

i ℏ \partial_{t} | ψ (t) ⟩ = H | ψ (t) ⟩

$\mathrm{i}\hbar\partial_t\lvert\psi(t)\rangle = H\lvert\psi(t)\rangle$ donde se tiene que entender que el

\partial_{t}

$\partial_t$ actúa sobre la función

R \to H

$\mathbb{R}\to\mathcal{H}$ (es decir

\partial_{t} | ψ (t) ⟩

$\partial_t\lvert\psi(t)\rangle$ es la derivada de

| ψ (\dot{}) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle$ evaluado en

t

$t$ ) y el

H

$H$ actúa sobre su valor en

H

$\mathcal{H}$ En el momento

t

$t$ .

Es importante darse cuenta de que la derivada del tiempo actúa sobre funciones en el espacio de estados y no es un operador en el espacio de estados en sí mismo, vea también esta respuesta mía .

Javier · Answer 2

¿Quién dice que los kets no son funciones? Un ket puede ser una función del tiempo: $|\psi(t)\rangle$ . Como son elementos de un espacio vectorial (con producto interior completo), puedes definir su derivada:

\frac{d | ψ ⟩}{d t} = \underset{h \to 0}{límite} \frac{| ψ (t + h) ⟩ - | ψ (t) ⟩}{h}

$\frac{d|\psi\rangle}{dt} =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{|\psi(t+h)\rangle-|\psi(t)\rangle}{h}$

Y dado un hamiltoniano $H : \mathcal{H}\to\mathcal{H}$ , que es un operador lineal en el espacio de Hilbert (e incluso puede ser una función del tiempo mismo), la ecuación de Schrödinger dice:

i ℏ \frac{d | ψ (t) ⟩}{d t} = H | ψ (t) ⟩

$i\hbar \frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H |\psi(t)\rangle$

Evolución del tiempo en el espacio de estado abstracto de la mecánica cuántica

Oro

alfredo centauro

Respuestas (2)

una mente curiosa

Javier

¿Existe una transformación unitaria tal que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelva simétrico real?

¿Es esta una prueba de la hermeticidad de Griffith? [duplicar]

¿Cómo satisfacen los kets base la ecuación de Schrödinger en la imagen de Schrödinger y por qué no evolucionan con el tiempo?

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