Encontrar primeras integrales de orden superior de un hamiltoniano

La respuesta simple, en general, es que siempre tienes que asumir una integral de movimiento en cierta forma y ver si se cumplen las condiciones para su existencia. En general, no lo son, y si ninguna simetría explícita indica una integrabilidad total, no se puede esperar que el movimiento sea completamente integrable; por el contrario, partes del espacio de fase casi siempre serán caóticas. Los métodos para encontrar la integral de movimiento "oculta" varían según el caso y discutiré solo el caso de buscar la integral de movimiento "última" necesaria para la integrabilidad total dado que ya tenemos integrabilidad proveniente de la estacionariedad y la axisimetría.

Además, interpretaré su pregunta de dos maneras, 1) el movimiento de una partícula relativista y 2) el movimiento de una partícula newtoniana en un campo potencial. También discutiré solo integrales globales de movimiento, es decir, aquellas válidas para cualquier trayectoria.

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En cuanto a 1), debe satisfacer la normalización de cuatro velocidades$g^{\mu \nu} u_\mu u_\nu = -1$. Sin embargo, el hamiltoniano que das conduce a una normalización.$g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu = -\mu^2 - V(q)$con$\mu$alguna constante que significa que (en el caparazón), sus momentos están relacionados con cuatro velocidades como$p_\mu = \sqrt{\mu^2 + V} \,u_\mu$.

Otros cálculos le muestran que su hamiltoniano, de hecho, reproduce trayectorias parametrizadas por un parámetro no afín$\lambda$relacionado con el momento adecuado$\tau$como$d \tau =\sqrt{\mu^2 + V} d\lambda$. El hamiltoniano que reproduce trayectorias parametrizadas por tiempo propio sería

$$H = \frac{1}{2 \sqrt{\mu^2 + V}} g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu - \frac{1}{2} \sqrt{\mu^2 + V}$$ Sin embargo, podemos ir más allá y repararmetrizar por otro parámetro.$d \tau = dp/\sqrt{\mu^2 + V}$lo que nos lleva al hamiltoniano $$H = \frac{1}{2 (\mu^2 + V)} g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu$$ Es decir, lo que estás buscando es la integral de movimiento para geodésicas en la métrica$\tilde{g}^{\mu \nu} = g^{\mu \nu}/(\mu^2 + V)$. Para eso, debes buscar los tensores Killing de la métrica$\tilde{g}^{\mu \nu}$, como se discutió en esta respuesta .

De cualquier manera, debe entenderse que la única solución de vacío de cuatro dimensiones para las ecuaciones de Einstein que posee un tensor de Killing irreducible (no trivialmente compuesto a partir de vectores Killing simples) es el espacio-tiempo Kerr-NUT-(A)dS. Si tiene una métrica de vacío axisimétrica estacionaria genérica, el movimiento simplemente no será integrable.

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En cuanto a 2), también puede hacer este truco de reparametrización, pero su métrica será válida solo en superficies isoenergéticas en el espacio de fase porque no tiene nada como la normalización de cuatro velocidades en la física newtoniana. La métrica obtenida por este método se llama métrica de Jacobi (puede encontrar más en Geometría y topología de Pettini en Dinámica hamiltoniana ) y puede buscar el tensor de Killing de esta métrica para encontrar la otra integral de movimiento.

Sin embargo, es más conveniente asumir una integral de movimiento de la forma$C = K^{ij}p_i p_j + K(q)$y buscar las consecuencias del requisito de que$\dot{C} = 0$en coordenadas cartesianas sin reparametrizaciones divertidas, etc. Para su hamiltoniano y en coordenadas cartesianas obtiene (trabajando solo con$i,j$índices para indicar la naturaleza newtoniana del problema) las condiciones

$$\partial^{(k}K^{ij)} = 0$$ $$\partial^{j} K = 2 K^{jk} \partial_k V$$ Donde ahora tenemos derivadas parciales en lugar de covariantes, lo que hace posible obtener condiciones explícitas en$V$para generar movimiento integrable. Cuando el polvo se asienta, obtienes que el movimiento en un estacionario y axisimétrico$V$será integrable si y sólo si$V$es de la forma $$V = \frac{C_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z-C_2)^2}} + \frac{C_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z+C_2)^2}} + C_3 (x^2 + y^2 + z^2)$$ dónde$C_1,C_2,C_3$son algunas constantes. Si tiene un potencial estacionario axisimétrico, se puede demostrar (con bastante trabajo, especialmente para el caso cuartico) que no puede existir una integral polinomial de movimiento de orden superior al cuadrático .

Es decir, debe observar su potencial estacionario axisimétrico y ver si se parece al que se indica arriba. Si no, no será globalmente integrable.

Todo esto está muy bien resumido en el artículo de Charalampos Markakis de 2014 , también encontrará buenas referencias en ese artículo.