Separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi

La respuesta a su pregunta es sí, la existencia de$n$cantidades conservadas con$n$grados de libertad implica la separabilidad de HJ.

La ecuación HJ sin masa es

$$g^{MN}\frac{\partial S}{\partial x^M}\frac{\partial S}{\partial x^N}=E.$$ Se separa si existe un nuevo conjunto de coordenadas $Y^M$tal que $$S(Y_1,...,Y_n)=\sum_{i=1}^n S_i(Y_i),$$ lo que implica la existencia de $n$cantidades conservadas, porque cada término en la ecuación HJ depende de su propia variable. El mismo procedimiento se usa cuando resolvemos PDE. por ejemplo en $2D$ $$S=S_x(x)+S_y(y), \quad f(x)(\partial_x S_x(x))^2+f(y)(\partial_y S_y(y))^2=E.$$ Esto último significa que ambos términos en LHS son constantes por separado. Entonces tenemos dos cantidades conservadas independientes.