Tensor de muerte en la métrica de Kerr

El tensor Killing se define como un tensor simétrico$K_{\alpha \beta}$cuya simetrización total del gradiente covariante desaparece

$$K_{(\alpha \beta;\gamma)} = K_{\alpha \beta;\gamma} + K_{ \beta\gamma;\alpha}+ K_{\gamma \alpha;\beta}= 0$$ Esto puede verse como una generalización de orden superior del vector Killing $\xi_\mu$y la ecuación de Killing que dice que la simetrización de su gradiente covariante se desvanece $$\xi_{(\mu;\nu)} = \frac{1}{2}(\xi_{\mu;\nu} + \xi_{\nu;\mu})=0$$ En coordenadas especiales donde $\xi_\mu$es tangente a las rectas de alguna coordenada $X$, podemos mostrar que la ecuación de Killing es equivalente al requisito de que la métrica sea independiente de $X$.

Las ecuaciones que cumple un vector de Killing o un tensor de Killing son "simplemente" ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas con coeficientes no constantes. Es decir, podemos resolverlos directamente por fuerza bruta. Considere el espacio-tiempo de Minkowski en coordenadas cartesianas. Ahí tenemos el gradiente covariante igual simplemente al gradiente coordenado y un ejemplo trivial que cumple la ecuación de Killing es un vector constante$\xi_\mu$. De manera similar, un ejemplo trivial de un tensor de Killing en Minkowski es cualquier tensor simétrico constante$K_{\mu \nu}$. Es decir, generalmente no necesitamos considerar la separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi para obtener el tensor de Killing.

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Por otro lado, en el caso de un espacio-tiempo generalmente curvo (incluido Kerr), es virtualmente imposible encontrar soluciones analíticas a la ecuación del tensor de Killing por fuerza bruta. Debe usar técnicas algebraicas especiales, como las técnicas de espinor utilizadas por Walker y Penrose en 1970 para derivar (o adivinar) el tensor de Killing sin hacer referencia a la separabilidad de las ecuaciones de movimiento. A la luz de estos procedimientos, no parece tan exagerado usar la ecuación de Hamilton-Jacobi para buscar indirectamente un tensor de Killing.

Sin embargo, mirar solo la separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi de una geodésica no es una forma segura de ver si el espacio-tiempo tiene un tensor de Killing o no. Se ha demostrado que la ecuación de Hamilton-Jacobi separa si y solo si estás en un conjunto especial de coordenadas adaptadas (Boyer-Lindquist y similares en Kerr, me gusta la forma en que Chervonyii y Lunin revisan esto ). Si está en un conjunto genérico de coordenadas, su ecuación de Hamilton-Jacobi no se separa aunque tenga un tensor de Killing.

Además, otro objeto importante a menudo llamado "raíz cuadrada" del tensor de Killing, el tensor de Killing - Yano , no se puede encontrar mediante el método de Hamilton-Jacobi. El tensor de Killing-Yano de rango dos es un tensor antisimétrico$Y_{\alpha \beta}$cuyo gradiente covariante también es antisimétrico

$$Y_{\alpha (\beta;\gamma)} = 0$$ A continuación, puede mostrar que $K_{\alpha \beta} = Y_{\alpha \gamma} Y^\gamma_{\;\; \beta}$es un tensor de Killing. La existencia del tensor Killing-Yano implica la separabilidad de la ecuación de Dirac sobre el fondo curvo. Esto significa que, en principio, puede eludir la ecuación de Hamilton-Jacobi buscando el tensor de Killing-Yano a partir de la separabilidad de la ecuación de Dirac y elevándolo al cuadrado para obtener el tensor de Killing. Sin embargo, la construcción de la ecuación de Dirac sobre un fondo curvo no es trivial.

Por lo tanto, todavía me parece que buscar la constante de separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi para una geodésica es el truco más fácil para encontrar el tensor de Killing.

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Si está buscando una forma más pragmática de simplemente leer el tensor de Killing de la métrica de Kerr y cualquier métrica con un tensor de Killing, la receta es la siguiente.

Tienes que estar en coordenadas$\xi, \eta$(más las correspondientes a las direcciones del vector Killing) donde las componentes métricas inversas adquieren la forma

$$g^{\mu \nu} = \frac{1}{f_\xi(\xi) - f_\eta(\eta)} (X^{\mu \nu}(\xi) + Y^{\mu\nu}(\eta))\,,$$ dónde $X^{\eta \nu} = Y^{\xi \nu}=0$. Puede ver que la métrica de Kerr en las coordenadas de Boyer-Lindquist $r,\vartheta$tiene exactamente esta propiedad.

Tu tensor Killing entonces es

$$K^{\mu\nu} = -\frac{f_\xi Y^{\mu \nu} + f_\eta X^{\mu \nu}}{f_\xi - f_\eta}$$ Esto se puede verificar mediante cálculo de fuerza bruta.

Sin embargo, la derivación de esta fórmula sería nuevamente más fácil considerando la ecuación de Hamilton-Jacobi porque estos$\xi$y$\eta$son nuevamente coordenadas en las que se separa la ecuación HJ.