Número máximo de cantidades conservadas (integrabilidad clásica)

I) Lema: En un$2d$variedad simpléctica -dimensional $(M,\{\cdot,\cdot\})$, puede haber a lo sumo$d$cantidades independientes que conmutan a Poisson.

Prueba indirecta: suponga que

$$\text{There exist }d+1 \text{ independent quantities } (F^1, \ldots , F^{d+1}) \text{ that Poisson commute.} \tag{1}$$ Considere un punto fijo $p\in M$. (No importa cuál). Defina un $d+1$-subespacio dimensional $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{R}} \{ \mathrm{d}F^1_p, \ldots, \mathrm{d}F^{d+1}_p \} ~\subseteq~T^{\ast}_pM. \tag{2}$$ el complemento perpendicular$W^{\perp}$wrt. la estructura simpléctica es entonces $d-1$dimensional. Del supuesto (1) se sigue que $$W ~\subseteq~ W^{\perp} \tag{2}$$ es un subespacio isotrópico . Contradicción. $\Box$

II) Volviendo a la pregunta de OP: Si$H$no es una función de la$F$'s, entonces habría$d+1$cantidades independientes que conmutan a Poisson. Contradicción.

Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Teorema: Sea$M$ser un$2d$-espacio de fase dimensional, y$F_{1},\ldots F_{d+1}:M \to \mathbb{R}$ser funcionales que Poisson conmutan en algún momento$P$. Entonces el conjunto

$$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{x}},\ldots \frac{dF_{d+1}}{d\mathbf{x}}\right\}$$ es linealmente dependiente en $p$, dónde $$\frac{df}{d\mathbf{x}}:=\left(\frac{\partial f}{\partial q_{1}}\ldots \frac{\partial f}{\partial p_{n}}\right)$$ y $(q_{1},\ldots q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$son coordenadas en $M$.

Lema: el conjunto

$$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{x}},\ldots \frac{dF_{d}}{d\mathbf{x}}\right\}$$ si y solo si el conjunto $$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{q}},\ldots \frac{dF_{d}}{d\mathbf{q}}\right\}$$ es linealmente independiente.

Prueba del Lema: Una dirección es trivial. Para el otro, supongamos$\left\{\frac{dF_{i}}{d\mathbf{x}}\right\}$es linealmente independiente y

$$\sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}} = 0$$ Tomando el producto punto, $$\sum_{i=1}^{d} \alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{p}} = 0$$ $\{F_{i},F_{j}\} = 0$, entonces $$\frac{dF_{i}}{d\mathbf{p}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{q}} = \frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{p}}$$ Entonces $$\left(\sum_{i=1}^{d} \alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{p}}\right)\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{q}} = 0$$ Me gustaría deducir que el vector entre paréntesis es $0$(desde entonces podemos heredar la independencia lineal de $\frac{dF_{i}}{d\mathbf{x}}$). Por supuesto, tenemos que es ortogonal a $d$vectores en $\mathbb{R}^{d}$, pero si no sabemos que son linealmente independientes, no creo que podamos deducir nada.