No integrabilidad del péndulo doble 2D

Contexto:

Para un sistema con norte grados de libertad (DOF), uno tiene que lidiar con 2 norte coordenadas independientes ( 2 norte espacio de fase dimensional), de posición q y q ˙ en formulación lagrangiana , o coordenadas independientes de q y el impulso generalizado pag en la formulación hamiltoniana .

Le recordamos al lector que si un sistema con norte DOF exhibe al menos norte integrales de movimiento definidas globalmente (primeras integrales), donde todas las variables conservadas están en involución (Poisson) entre sí, entonces el sistema es (Liouville) integrable .

Además un sistema con norte DOF puede tener como máximo 2 norte − 1 integrales de movimiento globalmente definidas. Un sistema tendrá genéricamente 2 norte constantes de movimiento definidas localmente . Sólo nos interesarán las integrales de movimiento definidas globalmente.

Pasando ahora al famoso caso del péndulo doble 2D , con alambres rígidos ingrávidos que unen las dos masas, que tienen las longitudes ℓ 1 y ℓ 2 , las coordenadas generalizadas aquí están dadas por los dos ángulos que cada masa forma con la vertical, denotados respectivamente por θ 1 y θ 2 .

Es bastante sencillo mostrar entonces que bajo un campo de gravedad constante, el Lagrangiano está dado por:

L   =   T − V   =   1 2 ( metro 1 + metro 2 ) ℓ 1 2 θ 1 ˙ 2 + 1 2 metro 2 ℓ 2 2 θ 2 ˙ 2 + metro 2 ℓ 1 ℓ 2 θ 1 ˙ θ 2 ˙ porque ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + ( metro 1 + metro 2 ) gramo ℓ 1 porque ⁡ θ 1 + metro 2 gramo ℓ 2 porque ⁡ θ 2 .

A partir de aquí, al calcular las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange , se obtiene una ecuación diferencial ordinaria acoplada de segundo orden que solo se puede resolver numéricamente para θ 1 ( t ) y θ 2 ( t ) .

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pregunta:

Sabiendo que una integral de movimiento aquí es la energía total mi , y esa componente de momento angular ortogonal L z al plano de movimiento es también una integral de movimiento independiente de mi . Desafortunadamente, no viajan a Poisson.

  1. ¿Hay otras integrales de movimiento que se pueden encontrar aquí?

  2. Con solo mirar el Lagrangiano, como se indicó anteriormente, ¿cómo podemos mostrar que el sistema no es integrable, al menos a nivel conceptual? (Solo queremos predecir, razonando qué se conserva y qué cantidades no son primeras integrales aquí).

2. Nuevamente, no estoy seguro, pero no creo que sea fácil de probar... Esta pregunta de Phys.SE podría ser de interés.
Si le gusta esta pregunta, también puede disfrutar leyendo esta publicación de Phys.SE.
Comentario a la pregunta (v4): El torque externo total τ z = d L z d t (producido por la gravedad) alrededor del punto de suspensión, rara vez es cero. Por eso L z no es una integral de movimiento en presencia de la gravedad.
Mire math.stackexchange.com/q/1682368 y la imagen verde en myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum/… y el comentario en la página web anterior sobre la teoría KAM. Todo sugiere que hay otra cantidad conservada. Aunque no tengo idea de lo que es. Tal vez si uno estudiara la teoría KAM, podría resolverlo.
Estos parecen relevantes: 1. V. Salnikov, arxiv.org/abs/1303.4904 Hm. Muy corto. 2. T. Stachowiak & W. Szuminski, arxiv.org/abs/1511.01850 Hm su eq. (2.1) se ve diferente.

Respuestas (2)

Para empezar, diría que teniendo en cuenta el L z componente se conserva parece no significar prácticamente nada, ya que está considerando el movimiento como restringido a la X Y avión. Si hubiera supuesto el movimiento a lo largo de la Z eje sea posible, entonces estaríamos hablando del doble péndulo esférico en lugar del plano (que es el caso, ya que el lagrangiano tiene dos grados de libertad).

La energía se conservará porque el sistema es autónomo (independiente del tiempo). Nótese también que un sistema autónomo integrable con norte libertades tiene norte cantidades conservadas, siendo una de ellas la energía. Entonces, dado que nuestro sistema tiene dos grados de libertad, falta una constante de movimiento para que sea integrable. diferenciando L con respecto a θ ˙ 1 y θ ˙ 2 nos dará los momentos canónicos del sistema, pero observe que las derivadas de L con respecto a θ 1 y θ 2 no son cero. Por lo tanto, los momentos canónicos no son cantidades conservadas. Además, la energía total del sistema no se factoriza como una suma de energías individuales, ya que el Lagrangiano tiene términos mixtos. No puede extraer ninguna otra cantidad del Lagrangiano que deba conservarse, ya que la mecánica habla de la conservación de los momentos y la energía (y, a veces, sus proyecciones). Como no hay tantas cantidades conservadas como grados de libertad, el sistema no es integrable.

PD: En una dimensión podemos ver claramente que (usando ejemplos simples como el oscilador armónico o el péndulo simple) algunos sistemas no conservan sus momentos. Aunque, si son autónomos entonces son integrables, porque tienen un grado de libertad y una cantidad conservada: la energía.

EDITAR .: Dado que la pregunta está directamente orientada a "¿es posible obtener, del Lagrangiano, una respuesta sobre la integrabilidad?", Entonces (como se sugiere en los comentarios) esbozaré algo sobre el teorema de Noether. El teorema relaciona los grupos de Lie con cantidades invariantes, por lo que es solo una forma más de encontrar cantidades conservadas. Básicamente dice que si encuentras una transformación que deja el lagrangiano invariante, entonces hay una cantidad conservada asociada a esa transformación. Como ejemplo, cuando la transformación se reduce a una traslación, la invariancia del Lagrangiano implica la conservación del momento; de la misma manera, si la transformación es una rotación, entonces la invariancia implica la conservación del momento angular a lo largo del eje de rotación. Entonces, esta es básicamente una forma de usar simetrías del Lagrangiano para obtener leyes de conservación (conocer bien el contenido del teorema de Noether es muy importante para una comprensión clara de muchos conceptos de Mecánica Cuántica y Teoría Cuántica de Campos). No estoy siendo cuantitativo porque demostrar que el lagrangiano del péndulo doble no es un invariante es tedioso, aunque debería ser de alguna manera obvio con solo mirarlo.

@Phonon ¡Gracias! Lo que digo es que efectivamente el sistema está acoplado. Compare con el caso de dos masas pegadas por un resorte y pegadas por resortes en dos paredes: la energía total se puede factorizar como una suma de energías (el sistema no está acoplado), por lo que la energía total da, solo, dos cantidades conservadas: las energías de cada una de las partículas. Simplemente pensé que "la energía no se puede factorizar" fue más natural en la discusión.
sí, eso pensé :), para completar tal vez podría agregar una palabra o dos sobre el punto de vista usando el teorema de Noether, y cómo la falta de simetría en el sistema ya es indicativo de la falta de cantidades conservadas. (si quieres, solo una sugerencia), sería la guinda del pastel :)
@Phonon Estoy de acuerdo en que sería bueno decir algo sobre el teorema de Noether cualitativamente, pero la parte cuantitativa no me atrae. La falta de simetría del sistema sería evidente al probar que no hay una acción de grupo asociada con los momentos que dejarían el Lagrangiano invariante, y necesitaría papel para hacer cálculos de un resultado que el propio Lagrangiano ya me dice que no. dame nada ¿Que sugieres?
Acabo de añadir una pequeña pista.
@QuantumBrick Gracias por esta excelente respuesta, si no le importa, tengo algunas preguntas pequeñas: 1) ¿por qué podemos decir que el sistema es autónomo aquí o, como usted dice, independiente del tiempo? (pero tenemos derivadas temporales...) 2) si uno comienza a hacer los cálculos analíticamente, ¿en qué punto nos atascamos y nos enfrentamos a la no integrabilidad de este sistema? (Supongo que lo que estoy preguntando es "cómo nos ayudarían las constantes de movimiento a integrarnos aquí...") 3) por qué ∂ L / ∂ θ 1 ≠ 0 significa que el momento angular no se conserva? porque implica d pag / d t ≠ 0 ? Gracias de antemano, respuesta muy comprensible.
@user929304 1) Llamamos a un sistema autónomo si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. Siempre dependerá implícitamente, ya que la Mecánica es el estudio del movimiento. 2) Nos atascamos tan pronto como notamos que nuestras ecuaciones de movimiento no se pueden integrar, y esto se debe a la no integrabilidad. 3) Por la ecuación de Euler Lagrange, d t ∂ θ 1 ˙ L = ∂ θ 1 L , es decir, si el Lagrangiano depende explícitamente de las coordenadas generalizadas, entonces el momento canónico no se puede conservar. ¡Siéntase libre de hacer cualquier otra pregunta que tenga!
@QuantumBrick: "Observe también que un sistema autónomo integrable con n libertades tiene n cantidades conservadas": ¿Podría explicar de dónde viene esto?
@anderstood Es la definición. Citando a wikipedia, "En dimensiones finitas, si el espacio de fase es simpléctico (es decir, el centro del álgebra de Poisson consta solo de constantes), entonces debe tener una dimensión par 2 norte , y el número máximo de invariantes de conmutación de Poisson independientes (incluido el propio hamiltoniano) es norte ".
@ user929304 Gracias hombre =) Actualmente estoy muy ocupado con seminarios, pero le echaré un vistazo a tu publicación lo antes posible. Muchas gracias por la generosidad, pero creo que yo mismo daré una respuesta a esa publicación. Es una pregunta muy difícil.
@user929304 Los sistemas lineales se pueden resolver mediante exponenciación matricial. Si algo es solucionable, entonces es integrable.
@QuantumBrick Estimado QuantumBrick, parece estar bastante versado en la comprensión de estos sistemas (por su buena respuesta, también deduzco que ha estudiado la teoría del caos antes). Tenía una pregunta, con la que tal vez podrías ayudarme, ¿por qué en sistemas caóticos la divergencia de dos trayectorias diferentes tiene que ser exponencial ? (¿por qué no lineal, por ejemplo?) Mi conjetura fue que debe deberse a una curvatura negativa de Riemann en la variedad que gobierna el espacio de fase de los sistemas caóticos no integrables. Si ese es el caso, ¿cómo entender que la curvatura es negativa? ¿Alguna pista o intuición? ¡Salud!
@Phonon ¡Hola! Bueno, para ser verdad, nunca había pensado en esto antes. Como saben, no solo se necesitan los exponentes de Lyapunov sino también la topología del espacio de fase para decir que un sistema es caótico. La topología debe ser compacta. Supongo que si los coeficientes de Lyapunov se definieran en función de una separación lineal, entonces sería posible demostrar que el sistema no se mezcla fuertemente. Es decir, aunque las trayectorias se separan, la divergencia lineal no es suficiente para garantizar que el sistema cubra todos los subconjuntos medibles del espacio de fase. ¡Buen tema, compañero!
@QuantumBrick Hola, gracias por responderme. Sí, tienes razón en el sentido de que esta debe ser la razón subyacente. Al menos es la explicación intuitiva. Entonces, en su opinión, ¿tendría sentido intentar vincular las curvaturas riemannianas negativas con la variedad del espacio de fase de los sistemas caóticos? ¡Quiero decir que ni siquiera sé cuál sería la métrica en tal caso, para definir una curvatura! (Consulte el primer Apéndice de VI Arnold si está más interesado en esto, notará una extraña similitud en el λ él deriva :)). La verdad es que es un tema fascinante ;)
@Phonon Bueno, no estoy muy versado en este territorio de vincular curvaturas y caos. Para mí, un espacio de fase debe ser plano, es decir, tener una curvatura riemanniana cero, ya que es simplemente un espacio vectorial dual. En realidad, tengo muchos problemas para vincular fibras cotangentes compactas a espectros de operadores discretizados en mi tesis. ¡Seguramente leeré un poco sobre esto tan pronto como sea posible! Gracias por introducirme en el tema. =)
@QuantumBrick no hay problema, sabía que estaría interesado en esto. Bueno, de todos modos, fue más por curiosidad para mí, mi propio campo de estudio en realidad no tiene nada que ver con esto (física de la materia condensada). Espero que tengas un buen progreso con tu tesis, no dudes en preguntarme si alguna vez crees que puedo ayudarte de alguna manera. Salud
@QuantumBrick hola de nuevo :), mucho tiempo. Publiqué otra pregunta hace un par de días, pero las respuestas son tan diferentes que no sé cuál retener realmente, ¿con cuál estarías más de acuerdo? ( aquí )

Es difícil "ver" la integrabilidad o no integrabilidad de un Lagrangiano o Hamiltoniano. Un método para probar la no integrabilidad es el método de Melnikov, y para el péndulo físico en 2D esto se ha hecho en el artículo "Método de Melnikov aplicado al péndulo doble" por Holger Dullin, Zeitschrift für Physik B, 93:521-528, 1994 , https://doi.org/10.1007/BF01314257

Dado que usted es el autor del artículo, tal vez podría desarrollar más esta respuesta: se supone que la respuesta es independiente, no solo un indicador de un artículo.
OK Jon, sobre el método de Melnikov: Requiere que tengas un caso integrable que tenga una separatriz. Perturbando el caso integrable, debe mostrar que la separatriz se divide y tiene intersecciones transversales de variedades estables e inestables. Esto prueba que el sistema es caótico y no tiene más integral que la energía. Para aplicar esto al péndulo doble, debe considerar el péndulo doble físico (es decir, con cuerpos extendidos con momentos de inercia), de modo que se pueda encontrar un caso límite integrable, por ejemplo, donde un péndulo es solo un rotor.
No integrabilidad del péndulo doble 2D
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