Ayuda para encontrar ecuaciones de movimiento del hamiltoniano con integral de movimiento

Quiero simplificación, así que tomaré$\omega_0 = 1$. Puedes cambiar la escala$x$y siempre obtener este tipo de simplificación, si$\omega_0$es una constante Entonces el hamiltoniano se convierte en

$$H(x,p) = \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} + \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right)^2 \, .$$

Las ecuaciones de Hamilton están dadas por

$$\begin{align} \begin{cases} \dot{q} &= p + 2 \lambda p \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \\ \dot{p} &= -q - 2 \lambda q \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dot{q} &= p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \\ \dot{p} &= -q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \end{cases} \, . \end{align}$$

Asumiendo$q, \dot{p} \neq 0$, divide una ecuación entre la otra para obtener

$$\frac{ \left( \frac{dq}{dt} \right)}{ \left(\frac{dp}{dt} \right)} = \frac{p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]}{-q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]} = -\frac{p}{q} \, .$$

La solución será, por tanto, la misma que para el SHO, con la excepción de que la nueva frecuencia aumentará a medida que la órbita se aleje del origen.

Como creo que esto es tarea, no daré más detalles. El problema está básicamente resuelto.