¿Prueba analítica de la no integrabilidad del sistema Henon-Heiles?

Los métodos analíticos generales para demostrar la no integrabilidad se analizan, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE. En esta respuesta, esbozaremos cómo aplicar el siguiente corolario de Poincaré.

Corolario de Poincaré: si un sistema integrado de Liouville hamiltoniano autónomo tiene una solución periódica$z_0(t)=z_0(t+T)$, entonces la matriz de monodromía para el sistema linealizado a lo largo de$z_0$solo puede tener 1 como valor propio ( generalizado ).

En mi respuesta Phys.SE aquí se proporciona una prueba del corolario de Poincaré .

$\uparrow$Fig. 1. Mapas de Poincaré en el$(y,\dot{y})$avion con$(x,\dot{x})=(0,0)$para varios niveles de energía fijos$E$del sistema Henon-Heiles (HH) . Consideramos a continuación la órbita periódica más externa para$E=1/6$y$E=1/12$.

Prueba analítica esbozada de que el sistema HH no es integrable: El sistema HH tiene Lagrangian$^1$

$$\begin{align} L ~=~&T-V, \cr T ~=~&\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) ~=~\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2), \cr V~=~&\frac{1}{2}(x^2+y^2)+x^2y-\frac{1}{3}y^3 ~=~\frac{r^2}{2}+\frac{r^3}{3}\sin 3\theta, \cr x+iy ~\equiv~& re^{i\theta}. \end{align}\tag{1}$$ Las ecuaciones de EL son $$-\ddot{x}_0~=~x_0 +2x_0y_0, \tag{2}$$ $$-\ddot{y}_0~=~y_0 +x_0^2-y_0^2.\tag{3}$$ Buscamos una solución periódica$y_0(t)=y_0(t+T)$con$x_0(t)\equiv 0$. Entonces la ec. (2) se cumple automáticamente. La energía $$E~=~ \frac{1}{2}\dot{y}_0^2+\frac{1}{2}y_0^2 -\frac{1}{3}y_0^3 \tag{4}$$ se conserva Considerar$(x,y)=(x_0,y_0)+ (\xi,\eta)$, dónde$(\xi,\eta)$es una fluctuación infinitesimal. Las ecuaciones EL linealizadas $$\ddot{\xi}~=~-(1+2y_0)\xi ,\tag{5}$$ $$\ddot{\eta}~=~(2y_0-1)\eta,\tag{6}$$ desacoplar [La ec. (6) corresponde a la reducción dimensional al subsistema 1D en el$y$-dirección sola. Esto es manifiestamente integrable, por lo que ya sabemos que los 2 valores propios generalizados correspondientes para la matriz de monodromía en el$y$-la dirección es$1$. Por lo tanto, la ec. (5) será la prueba de integrabilidad real.]

Primer intento:$E=\frac{1}{6}$. La primera integral (4) se convierte en

$$\dot{y}_0~=~\pm (1-y_0)\sqrt{y_0+1/2}, \qquad -\frac{1}{2}~\leq~y_0~\leq~1. \tag{7}$$ tiene solución $$y_0(t)~=~ \frac{3}{2}\tanh u-\frac{1}{2} ~=~1-\frac{3/2}{\cosh^2u},\qquad u~\equiv~\frac{t}{2}.\tag{8}$$ Desafortunadamente el período es infinito.$T=\infty$. Para el registro, las ecuaciones linealizadas. (5) y (6) se convierten en DE de Legendre $$\frac{d^2\xi}{du^2}~=~- 12\xi \tanh^2 u , \tag{9}$$ $$\frac{d^2\eta}{du^2}~=~\left(4 - \frac{12}{\cosh^2 u}\right) \eta. \tag{10}$$

Segundo intento:$E=\frac{1}{12}$. La primera integral (4) se convierte en

$$\begin{align}\dot{y}_0~=~&\pm \sqrt{\frac{2}{3}(y_0-1)(y_0^2-y_0-1/2)}, \cr \frac{1-\sqrt{3}}{2}~\leq~&y_0~\leq~\frac{1}{2}.\end{align}\tag{11}$$ Tiene solución en términos de funciones elípticas de Jacobi $$\begin{align} y_0(t)~=~& \sqrt{3}{\rm sn}^2u +\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \cr {\rm sn} u~\equiv~&{\rm sn}(u|m\!=\!2), \cr u~\equiv~&\frac{t}{2\sqrt[4]{3}}.\end{align}\tag{12}$$ Las ecuaciones linealizadas. (5) y (6) se convierten en DE de Lamé en forma de Jacobi$^2$ $$\frac{d^2\xi}{du^2}~=~\left(12-8\sqrt{3}- 24 {\rm sn}^2u \right) \xi \tag{13},$$ $$\frac{d^2\eta}{du^2}~=~\left(24 {\rm sn}^2u - 12\right) \eta \tag{14}.$$ ecuaciones (13) y (14) pueden, en principio, resolverse analíticamente. En esta etapa, admitimos que acabamos de conectar eq. (13) en Mathematica, y verificó numéricamente que los 2 valores propios generalizados correspondientes para la matriz monodromía en el$x$-dirección están lejos de 1. Por lo tanto, el sistema HH no es integrable, cf. el corolario de Poincaré.$\Box$

Referencias:

1. H. Goldstein, Classical Mechanics, 3ª edición, Sección 11.6.

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$^1$Aunque el$4\times 4$La matriz de monodromía se refiere al espacio de fase 4D, es conveniente realizar la mayor parte del análisis en el espacio de configuración 2D y posponer la transformación de Legendre.

$^2$Una solución a la ec. (14) es

$$\eta_1(u)~:=~{\rm sn}u~{\rm cn}u~{\rm dn}u. \tag{15}$$ En principio, se puede encontrar otra solución independiente a partir de la fórmula $$\eta_2(u)~:=~\eta_1(u)\int^u\! \frac{du^{\prime}}{\eta_1(u^{\prime})^2}. \tag{16}$$