Determinar si las constantes de movimiento son independientes

Recogiendo el cheque mencionado en la respuesta de JG:

1. Para$2n$espacio de fase dimensional, hay como máximo$2n$constantes de movimiento independientes .

2. Del mismo modo, hay como máximo$2n-1$integrales de movimiento independientes , ya que por definición no se permite que dependan explícitamente del tiempo$t$.

3. De manera más general, dado$N$integrales de movimiento$I_1, \ldots, I_N$de las variables del espacio de fase$z^1, \ldots, z^{2n}$, el número de integrales independientes de movimiento en el punto$z$viene dado por el rango de la matriz rectangular

   $$\left(\frac{\partial I_k(z)}{\partial z^{\ell}}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq \ell\leq 2n} .$$ Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. El caso de OP tiene$n=2$.

4. Ejemplo de OP: la variable angular$\phi$es una variable cíclica por lo que$p_{\phi}$es una integral de movimiento. el hamiltoniano

   $$H~:=~\frac{p_r^2}{2}+\frac{p_{\phi}^2}{2r^2}+\frac{A}{r}~=~\frac{p_r^2}{2}+\frac{W^2}{2}-\frac{A}{2p_{\phi}^2}, \qquad W~:=~\frac{p_{\phi}}{r}+\frac{A}{p_{\phi}},$$ es una integral de movimiento diferente de$p_{\phi}$(debido a la$p_r$&$W$dependencia). Se puede comprobar que la familia de 1 parámetro $$B(\alpha)~:=~p_r \sin(\phi+\alpha) + W \cos(\phi+\alpha)$$ es una integral de movimiento diferente de$p_{\phi}$y$H$(debido a la$\phi$dependencia). Sin embargo, cualquier$B(\alpha)$puede escribirse en términos de$B(0)$y$B(\pi/2)$a través de las fórmulas de adición para seno y coseno. Y$B(\pi/2)$no es independiente, ya que $$B(0)^2+B(\pi/2)^2~=~2H+\frac{A}{p_{\phi}^2} .$$ Así que la familia de 1 parámetro$B(\alpha)$contiene sólo una nueva integral de movimiento. En conjunto, el sistema es máximamente superintegrable con 3 integrales de movimiento independientes. La integral de movimiento de OP es$C:=p_{\phi}B(0)$.

La técnica estándar es contar las simetrías y, si parece que hemos encontrado demasiadas cargas conservadas, verificar la dependencia lineal (o en algunos casos, otras relaciones) entre ellas. Consulte el Apéndice D de mi tesis para ver un ejemplo. Y a veces dos corrientes conservadas dan la misma carga, debido a que su diferencia se integra a cero; véase el Apéndice E del mismo para un ejemplo.