Prueba de construcción de coordenadas de ángulo de acción en el sistema hamiltoniano

La pregunta real de OP se deriva directamente del Teorema 5.3 en la Ref. 2, pero eso deja la pregunta obvia: ¿ Cómo demostrar el Teorema 5.3? Parece que la única respuesta realmente satisfactoria sería esbozar una prueba completa del Teorema de Liouville-Arnold . Esto es lo que pretendemos hacer en esta respuesta.

Sea dado un sistema hamiltoniano autónomo de dimensión finita , definido en un conexo$2n$variedad simpléctica -dimensional $({\cal M},\{\cdot ,\cdot \})$.

Definición 1. El sistema es completamente integrable en Liouville si existen$n$funciones definidas globalmente, de conmutación de Poisson, funcionalmente independientes$F_1, \ldots, F_n: {\cal M}\to \mathbb{R}$, de modo que el hamiltoniano$H$es una función de$F_1, \ldots, F_n$, solo. En otras palabras, las funciones$F_1, \ldots, F_n$son integrales de movimiento . Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Definición 2. El sistema tiene la propiedad AA si existe un atlas de coordenadas de acción angular$(w^1,\ldots, w^n,J_1,\ldots, J_n)$, donde el simpléctico$2$-forma$\omega=\sum_{k=1}^n\mathrm{d}J_k\wedge \mathrm{d}w^k$está en forma de Darboux, donde cada sistema de coordenadas AA es$w$-completo, y donde el hamiltoniano$H=H(J)$no depende de los angulos$w^k$. (Permitimos variables de "ángulo" no compactas. Las variables de ángulo compacto tienen un período de unidad$w^k\sim w^k+1$.)

Teorema de Liouville-Arnold . Dado un sistema completamente integrable de Liouville, y supongamos$\forall f=(f_1,\ldots, f_n)\in\mathbb{R}^n$que marca el nivel${\cal M}_f:=\bigcap_{k=1}^n F_k^{-1}(\{f_k\})$son compactos en${\cal M}$. Entonces cada componente conectado de los conjuntos de niveles es$n$-tori, y el sistema tiene la propiedad AA.

Prueba esbozada:

1. Por un lado, a partir de los campos vectoriales conmutantes hamiltonianos$X_k:=-\{F_k, \cdot\}$, generamos un flujo abeliano

   $$\begin{align} g(t)~:=~& \exp(\sum_{k=1}^n t^k X_k), \cr g(t)g(t^{\prime})~=~&g(t+t^{\prime}), \qquad t,t^{\prime}~\in~\mathbb{R}^n .\end{align} \tag{1}$$ Nos centramos en un componente conectado de un conjunto de niveles compacto${\cal M}_f$. Concluimos del supuesto de compacidad que el$t$-los parámetros generan una acción toroide periódica$t^k\sim t^k+\Pi^k_{\ell}(F)$(para cada componente conectado), donde$\Pi^k_{\ell}(F)$es una matriz de periodos.

2. Por otro lado, del teorema de Frobenius para la distribución involutiva$\Delta:={\rm span}_{\mathbb{R}}(X_1,\ldots,X_n)$, existe un$n$-foliación . En otras palabras, existe un atlas de coordenadas locales de la forma$(\varphi^1, \ldots,\varphi^1, G_1, \ldots, G_n)$, donde en primer lugar la$\varphi^k$-coordenadas parametrizar las hojas, y en segundo lugar el$G_k$-coordenadas (como el$F_{\ell}$-coordenadas) etiqueta las hojas. Por lo tanto, la$G_k$-las coordenadas deben ser funciones de$F_{\ell}$-coordenadas. Dos sistemas de coordenadas locales superpuestos (digamos, imprimados y no imprimados) están relacionados a través de

   $$\begin{align} \varphi^{\prime k} ~=~& \varphi^{\prime k}(\varphi,G), \cr G^{\prime}_k ~=~&G^{\prime}_k(G), \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align}\tag{2}$$ Podemos asumir wlog que el local$\varphi^k$-las coordenadas siempre estratifican los campos vectoriales hamiltonianos $$\frac{\partial}{\partial \varphi^k}~=~X_k, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}.\tag{3}$$ Note que el flujo abeliano entonces se convierte en $$g(t)~\stackrel{(1)+(3)}{=}~ \exp(\sum_{k=1}^n t^k \frac{\partial}{\partial \varphi^k}) , \qquad t~\in~\mathbb{R}^n .\tag{4}$$ Queda claro que entonces debemos identificar el parámetro$t^k$con la coordenada$\varphi^k$. ecuaciones (2) y (3) transformaciones de coordenadas estrechas hasta la forma$\varphi^{\prime k} = \varphi^k+ h^k(F)$. Queda claro que podemos tomar uniones de tales parches de coordenadas locales para crear un$\varphi$-sistema de coordenadas completo (para cada componente conectado) con una condición de periodicidad$\varphi^k\sim \varphi^k+\Pi^k_{\ell}(F)$. En otras palabras, el$\varphi^k$son variables angulares no normalizadas.

3. Dado un componente conexo de un conjunto de nivel compacto, que debe ser un$n$-toro$\cong (\mathbb{S}^1)^n$, podemos encontrar un barrio tubular${\cal U}\subseteq {\cal M}$con coordenadas$(\varphi^1,\ldots,\varphi^n,F_1, \ldots, F_n)$, donde el$F$-las coordenadas viven en algún espacio contráctil, digamos, un$n$-caja. Ahora restringimos la construcción a este barrio tubular${\cal U}$.

   Los corchetes de Poisson fundamentales no están necesariamente en forma de Darboux$^1$

   $$\begin{align} \{ \varphi^k, \varphi^{\ell}\} ~=~& \beta^{k\ell}, \cr \{ \varphi^k, F_{\ell}\}~=~& \delta^k_{\ell}, \cr \{ F_k, F_{\ell}\}~=~& 0, \cr k,\ell ~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align}\tag{5}$$ La forma simpléctica correspondiente es la estructura inversa $$\begin{align}\omega~=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \wedge \mathrm{d}\varphi^k + \beta, \cr \beta~:=~& \frac{1}{2} \sum_{k,\ell=1}^n \mathrm{d}F_k ~\beta^{k\ell} \wedge \mathrm{d}F_{\ell}.\end{align} \tag{6}$$ Sin embargo, hay una bigraduación de dos diferenciales anti-conmutación $$\begin{align}\mathrm{d}~=~&\mathrm{d}^{(\varphi)}+ \mathrm{d}^{(F)}, \cr \mathrm{d}^{(\varphi)}~:=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}\varphi^k \frac{\partial}{\partial \varphi^k},\cr \mathrm{d}^{(F)}~:=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \frac{\partial}{\partial F_k} .\end{align} \tag{7}$$ la clausura$\mathrm{d}\beta=0$implica en primer lugar$\mathrm{d}^{(\varphi)}\beta=0$(es decir$\beta^{k\ell}$no puede depender de$\varphi$.), y en segundo lugar$\mathrm{d}^{(F)}\beta=0$. Por Lema de Poincaré existe un$(0,1)$-forma $$\alpha~=~\sum_{k=1}^n\alpha^k(F)~\mathrm{d}F_k\tag{8}$$ en${\cal U}$tal que la simpléctica$(0,2)$-forma $$\beta|_{\cal U}~=~\mathrm{d}^{(F)}\alpha~=~\mathrm{d}\alpha.\tag{9}$$

   Definir nuevas coordenadas

   $$\begin{align} q^k~:=~\varphi^k -\alpha^k(F)~\sim~& q^k+\Pi^k_{\ell}(F), \cr k,\ell ~\in~&\{1, \ldots, n\},\end{align}\tag{10}$$
   que son periódicas con los mismos periodos. Es fácil comprobar que$(q^1,\ldots,q^n,F_1, \ldots, F_n)$es un$q$-vecindad completa de coordenadas de Darboux${\cal U}$con un potencial simpléctico$(1,0)$-forma $$\begin{align}\vartheta~=~&\sum_{k=1}^nF_k ~\mathrm{d}q^k, \cr \mathrm{d}\vartheta~=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \wedge \mathrm{d}q^k ~=~\omega|_{\cal U}.\end{align}\tag{11}$$

4. En este punto damos un paso atrás. (Esto no es necesario para la prueba de existencia de AA, pero en la práctica es útil para delinear la construcción de coordenadas más generales. Ver también el comentario 7 a continuación). Imaginemos de manera más general que tenemos una vecindad tubular${\cal U}\subseteq {\cal M}$Con algo$q$-coordenadas completas (no necesariamente de Darboux)$(q^1,\ldots,q^n,F_1, \ldots, F_n)$con un potencial simpléctico$(1,0)$-forma

   $$\vartheta~=~\sum_{k=1}^n p_k(q,F) ~\mathrm{d}q^k,\tag{12}$$ tal que$q^k\sim q^k+\Pi^k_{\ell}(F)$.

   Coherencia con la forma simpléctica no degenerada de 2

   $$\begin{align}\omega|_{\cal U}~=~& \mathrm{d}\vartheta\cr ~\stackrel{(12)}{=}~& \underbrace{\sum_{k,\ell=1}^n\mathrm{d}q^k ~\frac{\partial p_{\ell}}{\partial q^k} \wedge \mathrm{d}q^{\ell}}_{=0\text{ because }\{ F_k, F_{\ell}\}=0 } +\sum_{k,\ell=1}^n\mathrm{d}F_k ~\frac{\partial p_{\ell}}{\partial F_k} \wedge \mathrm{d}q^{\ell},\end{align}\tag{13}$$ implica:

   • eso$\{q^k,q^{\ell}\}=0$.

   • las relaciones maxwell

     $$\frac{\partial p_{\ell}(q,F)}{\partial q^k} ~=~ (k\leftrightarrow \ell) , \qquad k,\ell~\in~\{1, \ldots, n\}.\tag{14}$$ ecuación (14) es una condición de integrabilidad para la existencia local de la función característica de Hamilton $W(q,F)$, cf. Sección 6 a continuación.

   • que la matriz$\frac{\partial p_{\ell}}{\partial F_k}$es invertible Después de posiblemente restringir a un vecindario tubular más pequeño${\cal V}\subseteq {\cal U}$, esto prueba que$(q^1,\ldots,q^n,p_1, \ldots, p_n)$son las coordenadas de Darboux en${\cal V}$. (Aquí hemos usado el teorema de la función inversa ).

5. Definir variables de acción

   $$J_k(q_{\ast},F)~:=~ \oint_{C_k(q_{\ast})}\! \left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}, \tag{15}$$ dónde$C_k(q_{\ast})$área$k$'th 1-ciclo de los toros en el$q$-espacio$M$(también conocido como espacio de configuración ) que comienza y termina en el mismo punto$q_{\ast}\in M$. Usar el teorema de Stokes $$\begin{align} J_k(q^{\prime}_{\ast},F)-J_k(q_{\ast},F)~:=~& \oint_{\partial A}\! \left.\vartheta \right|_{\text{fixed } F}\cr ~=~& \iint_A\! \left. \omega \right|_{\text{fixed } F}~=~0, \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}, \end{align}\tag{16}$$ para mostrar que$J_k(q_{\ast},F)$no dependas de$q_{\ast}$.

   En este punto suponemos que la matriz$\frac{\partial J_k}{\partial F_{\ell}}$no es degenerado. (Esto se satisface para el caso importante donde$p_k(q,F)=F_k$.) Después de posiblemente restringir a un vecindario tubular más pequeño${\cal V}\subseteq {\cal U}$, esto prueba que$(q^1,\ldots,q^n,J_1, \ldots, J_n)$son coordenadas en${\cal V}$. (Aquí hemos usado el teorema de la función inversa ).

6. Defina la función característica de Hamilton

   $$W(\gamma,F)~:=~ \int_{\gamma}\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{17}$$ dónde$\gamma \subseteq M$es una curva orientada en el$q$-espacio$M$desde un punto fiduciario$q_{\ast}(F)$a un punto final, que nosotros (con un ligero abuso de notación) denotamos$q$. Se puede mostrar nuevamente que la definición (17) solo depende de la clase de homotopía (es decir, números de bobinado ) de$\gamma$. Por lo tanto, podemos reescribir la definición (17) en una notación ligeramente diferente como $$W(q,F)~:=~ \int_{q_{\ast}}^q\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{18}$$ donde usamos la naturaleza multivaluada de la$q$-Sistema de coordenadas para indicar el número de devanado. Tenga en cuenta que $$p_k(q,F)~=~\frac{\partial W(q,F)}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{19}$$ Definir$W(q,J)~:=~W(q,F(J))$. Similarmente, $$p_k(q,J)~=~\frac{\partial W(q,J)}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{20}$$ Entonces si cambiamos con un punto $$\begin{align} \Delta_k W ~:=~&W(q+\Pi_k,J)-W(q,J)~=~J_k, \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align} \tag{21}$$ Definir nuevas variables de ángulo $$w^k(q,J)~:=~\frac{\partial W(q,J)}{\partial J_k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{22}$$
   En otras palabras,$W$es una función generadora de tipo 2 para la transformación canónica$(q,p)\to (w,J)$. Entonces los periodos tienen longitud unitaria $$\begin{align} \Delta_{\ell} w^k~:=~& w^k(q+\Pi_{\ell},J)-w^k(q,J)~=~ \delta^k_{\ell}, \cr k,\ell~\in~&\{1, \ldots, n\}. \end{align}\tag{23}$$ $\Box$

7. Observación. Si un barrio tubular${\cal U}\subseteq {\cal M}$de un toroide de nivel está cubierto por un único gráfico de coordenadas de Darboux$(q^1,\ldots,q^n,p_1,\ldots,p_n)$tal que la proyección de un toroide de conjunto de nivel al$q$-espacio$M$solo contienen puntos de inflexión aislados, entonces todavía es posible definir variables de acción (15), la función característica de Hamilton (17), etc., a través de generalizaciones apropiadas. Por ejemplo, el análogo de la ec. (17) es

   $$W(\gamma,F)~:=~ \int_{\sigma_F\circ \gamma}\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{24}$$ dónde$\sigma_F$denota el$F$ascensor dependiente de$q$-espacio$M$al toroide establecido en el nivel.

8. Ejemplo: El oscilador armónico simple. el hamiltoniano

   $$H~=~\frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2}\tag{25}$$ es una integral de movimiento. El sistema es integrable en el espacio de fase 2D (excepto el origen, que es una órbita singular). Podemos definir una variable de ángulo $$\begin{align} \varphi~:=~&{\rm atan2}(q,p), \cr p+iq~=~&\sqrt{2H}e^{i\varphi}, \cr q~=~&\sqrt{2H}\sin\varphi, \cr p~=~&\sqrt{2H}\cos\varphi\cr ~=~&\pm \sqrt{2H-q^2}.\end{align}\tag{26}$$ La variable de acción dice $$\begin{align} J~\stackrel{(15)}{=}~&\oint \!\left. p ~\mathrm{d}q \right|_{\text{fixed } H}\cr ~=~&2H\int_0^{2\pi}\! \mathrm{d}\varphi~\cos^2\varphi\cr ~=~&2\pi H.\end{align}\tag{27}$$
   La función característica de Hamilton dice $$\begin{align}W(q,H)~\stackrel{(18)}{=}~&\int_{q_{\ast}}^q \!\left. p ~\mathrm{d}q \right|_{\text{fixed } H}\cr ~=~&2H\int_0^{\varphi(q,H)}\! \mathrm{d}\varphi~\cos^2\varphi\cr ~=~&H\left. \{\varphi + \frac{1}{2}\sin 2 \varphi \}\right|_{\varphi=\varphi(q,H)}\cr ~=~&\left. \{ H~{\rm atan2}(q,p) + \frac{1}{2} q p\}\right|_{p=p(q,H)}.\end{align}\tag{28}$$ La variable ángulo se convierte en $$\begin{align}2\pi w~\stackrel{(22)}{=}~& 2\pi\frac{\partial W(q,J)}{\partial J}\cr ~\stackrel{(27)}{=}~&\frac{\partial W(q,H)}{\partial H}\cr ~\stackrel{(28)}{=}~& {\rm atan2}(q,p) + \left\{H\frac{1}{1+(q/p)^2} \frac{-q}{p^2}+\frac{q}{2}\right\}\frac{\partial p(q,H)}{\partial H}\cr ~=~&{\rm atan2}(q,p)\cr ~=~&\varphi,\end{align} \tag{29}$$
   como se esperaba.

Referencias:

1. VI Arnold, Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, 1989;$\S$49-50.

2. VI Arnold, VV Kozlov y AI Neishtadt, Aspectos matemáticos de la mecánica celeste, 2006; Subsecciones 5.1.1-2 y 5.2.1.

3. JH Lowenstein, Fundamentos de la dinámica hamiltoniana, 2012; Secciones 3.1-2 y 3.5.

4. M. Taylor, Ecuaciones diferenciales parciales, Teoría básica, 2011;$\S$dieciséis.

5. JV Jose & EJ Saletan, Dinámica Clásica: Un Enfoque Contemporáneo, 1998; Subsección 6.2.2.

6. A. Fasano & S. Marmi, Mecánica Analítica, 2006; Secciones 11.5 + 11.6.

7. NA Lemos, Mecánica Analítica, 2018; Sección 9.7.

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$^1$ecuación (5) prueba la pregunta real de OP, en el sentido de que tales coordenadas existen.

Me parece que están haciendo la identificación$F_i = I_i = y_i$donde el$y_i$son las discutidas en el Teorema 5.3 (página 174) y, como mencionan, asumen que se cumplen las hipótesis del Teorema 5.3. En consecuencia, dicen que las ecuaciones de Hamilton con respecto a todos$F_i$tener la forma$\dot{\phi}_m=\left\{\phi_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}$así como$\dot{y}_m=\left\{y_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}$. En particular, con la elección$y_s=F_s$, tenemos por hipótesis$0=\left\{F_m,F_i\right\}=\dot{F}_m$. El$F_m$son entonces constantes independientes a la par en la involución. Por lo tanto, tenemos$\left\{\phi_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}(F_k) \,$.