Sistemas integrables vs. no integrables

Que se dé un$2n$-variedad simpléctica real dimensional $(M,\omega)$con una función real definida globalmente$H:M\times[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$, que llamaremos hamiltoniano. La evolución del tiempo se rige por las ecuaciones de movimiento de Hamilton (o equivalentemente de Liouville). Aquí$t\in[t_i,t_f]$es hora.

1. Por un lado, está la noción de integrabilidad completa, también conocida como. Integrabilidad de Liouville, o a veces simplemente llamada integrabilidad. Esto significa que existen$n$funciones reales independientes definidas globalmente

   $$I_i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ (que llamaremos variables de acción ), que conmutan por pares de Poisson, $$\{I_i,I_j\}_{PB}~=~0, \qquad i,j\in\{1, \ldots, n\}.$$

2. Por otro lado, dado un punto fijo$x_{(0)}\in M$, bajo suposiciones moderadas de regularidad, siempre existe localmente (en un Darboux abierto suficientemente pequeño$^1$barrio de$x_{(0)}$) un$n$-parámetro solución completa para la función principal de Hamilton

   $$S(q^1, \ldots, q^n; I_1, \ldots,I_n; t)$$ a la ecuación de Hamilton-Jacobi , donde $$I_i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$
   son constantes de integración. Esto conduce a una versión local de la propiedad 1.

El punto principal es que la propiedad global 1 es rara, mientras que la propiedad local 2 es genérica.

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$^1$Un vecindario de Darboux aquí significa un vecindario donde existe un conjunto de coordenadas canónicas, también conocido como. Coordenadas de Darboux $(q^1, \ldots, q^n;p_1, \ldots, p_n)$, cf. Teorema de Darboux .

La integrabilidad completa es mucho más fuerte que la solución del problema de valor inicial.

La integrabilidad completa implica la ausencia de órbitas caóticas. Más precisamente, todas las órbitas limitadas son cuasiperiódicas y se encuentran en toros invariantes. Las perturbaciones de un sistema completamente integrable conservan solo algunos de estos toros; este es el teorema KAM. http://en.wikipedia.org/wiki/KAM_theorem

El problema de los tres cuerpos puede tener órbitas caóticas, por lo que no es completamente integrable. Pero es fácil escribir su Lagrangiano.

Hay sistemas que no son integrables (en el sentido de Poincaré) porque las interacciones destruyen los invariantes. Considere un hamiltoniano$H = H_0 + \lambda V$, donde$H_0$es el hamiltoniano imperturbable y$\lambda$la constante de acoplamiento. Si comienza con las interacciones desactivadas, puede encontrar invariantes de movimiento$\Phi^0$por el habitual corchete de Poisson

Si el sistema es integrable podemos encontrar un nuevo conjunto de invariantes$\Phi$que son analíticos en la constante de acoplamiento y satisfacen

cuando las interacciones están activadas. Un ejemplo son los momentos generalizados obtenidos de la ecuación de Hamilton-Jacobi (como usted nota correctamente).

Pero si el sistema no es integrable (en el sentido de Poincaré), entonces no hay tales invariantes$\Phi$, excepto energía [*] . Para tales sistemas no hay trayectorias (puntos infinitamente cercanos en el espacio de fase divergen en el tiempo debido a las resonancias de Poincaré). Verifique los detalles sobre las resonancias de Poincaré y los límites de la dinámica de la trayectoria y las referencias allí citadas.

[*] Expandir$\Phi$en una serie de Taylor$\Phi = \sum \lambda^{(n)} \Phi^{(n)}$y ampliar cada$\Phi^{(n)}$en una serie de Fourier. el soporte$\{H, \Phi\}=0$se transforma en$\{H_0,\Phi^{(n)}\}+\{V, \Phi^{(n-1)}\}=0$. Se puede demostrar que esto es equivalente a la desaparición de los coeficientes de Fourier$\phi_{k}^0=0$para cualquier vector de onda$\mathrm{k}$. Precisamente los sistemas no integrables (en el sentido de Poincaré) son sistemas para los cuales$\phi_{k}^0 \neq 0$en resonancias, destruyendo así las invariantes.

Esta no es una respuesta completa, pero pensé que era un hecho lo suficientemente interesante como para publicarlo aquí.

Incluso si, como usted dice, "el mapa desde la posición del espacio de fase en algún momento$t_0$a eso en ese momento$t$es invertible", el sistema aún puede ser caótico. Un ejemplo de esto es el mapa de Hénon ,

$x_{n+1} = 1 - ax_n^2 + y_n$

$y_{n+1} = b x_n$

que para ciertos valores de los parámetros (por ejemplo,$a=1.4$,$b=0.3$) es caótico, y sin embargo (excepto cuando$b=0$) es invertible:

$x_n = \frac{y_{n+1}}{b}$

$y_n = \frac{y_{n+1}}{b} - 1 - \frac{a}{b^2}y_{n+1}$.