Encuentre el hamiltoniano dado p˙p˙\dot p y q˙q˙\dot q

Question

Encuentre el hamiltoniano dado p˙p˙\dot p y q˙q˙\dot q

Física
hamiltoniano
corchetes de poisson
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

amanecer

tengo estas ecuaciones:

\dot{pag} = a pag + b q,

$\dot p=ap+bq,$

\dot{q} = C pag + d q,

$\dot q=cp+dq,$

y tengo que encontrar las condiciones tales como que las ecuaciones sean canónicas. Entonces, tengo que encontrar el hamiltoniano. $H$ .

Para responder a la primera pregunta, he impuesto que

\frac{\partial}{\partial q} (\frac{\partial H}{\partial pag}) + \frac{\partial}{\partial pag} (- \frac{\partial H}{\partial q}) = 0

$\frac{\partial}{\partial q}(\frac{\partial H}{\partial p})+\frac{\partial }{\partial p}(-\frac{\partial H}{\partial q})=0$

\frac{\partial}{\partial q} (C pag + d q) + \frac{\partial}{\partial pag} (a pag + b q) = 0

$\frac{\partial}{\partial q}(cp+dq)+\frac{\partial }{\partial p}(ap+bq)=0$

\Rightarrow d + a = 0.

$\Rightarrow d+a=0.$

Y entonces tengo que las ecuaciones canónicas están en la forma:

\dot{pag} = a pag + b q,

$\dot p=ap+bq,$

\dot{q} = C pag - a q .

$\dot q=cp-aq.$

Pero, ¿cómo puedo encontrar el hamiltoniano? El resultado debe ser $H=-apq-\frac{1}{2}bq^2+\frac{1}{2}cp^2$ . la expresion general $H=\sum p_i \dot q_i-L$ no me ayuda

Nikolaj-K

tu mismo te identificas

\partial H / \partial p

$\partial H/\partial p$ con

c p + d q

$c\ p+d\ q$ etc. ¿Por qué no simplemente integrar eso? Además, como su sistema lee

\dot{π} = A π

$\dot\pi=A\pi$ , con constante

A = ((a, b), (c, d))

$A=((a,b),(c,d))$ , supongo que el ansatz cuadrático

H = x p^{2} / 2 + y q^{2} / 2 + z p q

$H=x\ p^2/2+y\ q^2/2+z\ pq$ Podría valer la pena intentarlo.

amanecer

@NickKidman: Lo siento, pero no entendí... He agregado (en la pregunta) el resultado que debo obtener... En particular, no entendí el razonamiento sobre A: ¿qué es A?

Miguel

Si

π = (p, q)

$\pi = (p, q)$ es un vector (espacio de fase) y

A = ((a, b), (c, d))

$A=\left((a,b), (c,d)\right)$ es un

2 \times 2

$2\times2$ matriz entonces sus ecuaciones de movimiento leen

\dot{π} = A π

$\dot{\pi}=A\pi$ . Si eso no te ayuda, no te preocupes. Puedes integrar una derivada parcial: si sabes

\partial H / \partial p = f (p, q)

$\partial H/\partial p = f(p,q)$ entonces

H = \int f d p + g (q)

$H = \int f \mathrm{d}p + g(q)$ , dónde

g (q)

$g(q)$ es alguna función de

q

$q$ tendrás que determinar usando la otra ecuación de Hamilton. Verifique este resultado tomando la derivada

\partial / \partial p

$\partial/\partial p$ para asegurarse de que lo entiende.

amanecer

@MichaelBrown gracias por tu ayuda! pero como puedo encontrar

g (q)

$g(q)$ usando la primera ecuación?

Miguel

No hay problema. ¡Conecte lo que obtiene del primer paso y vea lo que obtiene!

amanecer

@MichaelBrown mmh..

\int \frac{\partial H}{\partial p} d p = 1 / 2 c p^{2} + d q p

$\int \frac{\partial H}{\partial p} dp=1/2cp^2+dqp$ pero d=-a ->

\int \frac{\partial H}{\partial p} = 1 / 2 c p^{2} - a q p

$\int \frac{\partial H}{\partial p}=1/2cp^2-aqp$ .. :) para la última parte del resultado, ¿tengo que dar un número entero al

\partial H \partial q

${\partial H}{\partial q}$ y entrar

g

$g$ solo los terminos que son solo funcion de q?

Miguel

@amanecer Sí. Así que ahora tienes

H = \frac{1}{2} c p^{2} - a q p + g (q)

$H = \frac{1}{2} c p^2 - a q p + g(q)$ para algunos

g (q)

$g(q)$ . La otra ecuación de Hamilton dice

\dot{p} = - \partial H / \partial q = \dots

$\dot{p}=-\partial H/\partial q=\cdots$ . Pero por lo que acabas de encontrar

- \partial H / \partial q = a p - g^{'} (q)

$-\partial H/\partial q = a p - g'(q)$ dónde

g^{'} (q) = d g / d q

$g'(q) = \mathrm{d}g/\mathrm{d}q$ con la derivada completa , ya que

g

$g$ es una función de

q

$q$ solo. Así que una integración más...

amanecer

@MichaelBrown ¡Oh, fantástico! ¡Lo tengo! :D ¿Puedo seguir estos pasos cada vez que tengo que hacer un ejercicio como este? (¡Si escribe una respuesta, la marcaré como respuesta aceptada!)

Respuestas (1)

Encuentre el hamiltoniano dado p˙p˙\dot p y q˙q˙\dot q

tu mismo te identificas $\partial H/\partial p$ con $c\ p+d\ q$ etc. ¿Por qué no simplemente integrar eso? Además, como su sistema lee $\dot\pi=A\pi$ , con constante $A=((a,b),(c,d))$ , supongo que el ansatz cuadrático $H=x\ p^2/2+y\ q^2/2+z\ pq$ Podría valer la pena intentarlo.
@NickKidman: Lo siento, pero no entendí... He agregado (en la pregunta) el resultado que debo obtener... En particular, no entendí el razonamiento sobre A: ¿qué es A?
Si $\pi = (p, q)$ es un vector (espacio de fase) y $A=\left((a,b), (c,d)\right)$ es un $2\times2$ matriz entonces sus ecuaciones de movimiento leen $\dot{\pi}=A\pi$ . Si eso no te ayuda, no te preocupes. Puedes integrar una derivada parcial: si sabes $\partial H/\partial p = f(p,q)$ entonces $H = \int f \mathrm{d}p + g(q)$ , dónde $g(q)$ es alguna función de $q$ tendrás que determinar usando la otra ecuación de Hamilton. Verifique este resultado tomando la derivada $\partial/\partial p$ para asegurarse de que lo entiende.
@MichaelBrown gracias por tu ayuda! pero como puedo encontrar $g(q)$ usando la primera ecuación?
No hay problema. ¡Conecte lo que obtiene del primer paso y vea lo que obtiene!
@MichaelBrown mmh.. $\int \frac{\partial H}{\partial p} dp=1/2cp^2+dqp$ pero d=-a -> $\int \frac{\partial H}{\partial p}=1/2cp^2-aqp$ .. :) para la última parte del resultado, ¿tengo que dar un número entero al ${\partial H}{\partial q}$ y entrar $g$ solo los terminos que son solo funcion de q?
@amanecer Sí. Así que ahora tienes $H = \frac{1}{2} c p^2 - a q p + g(q)$ para algunos $g(q)$ . La otra ecuación de Hamilton dice $\dot{p}=-\partial H/\partial q=\cdots$ . Pero por lo que acabas de encontrar $-\partial H/\partial q = a p - g'(q)$ dónde $g'(q) = \mathrm{d}g/\mathrm{d}q$ con la derivada completa , ya que $g$ es una función de $q$ solo. Así que una integración más...
@MichaelBrown ¡Oh, fantástico! ¡Lo tengo! :D ¿Puedo seguir estos pasos cada vez que tengo que hacer un ejercicio como este? (¡Si escribe una respuesta, la marcaré como respuesta aceptada!)

qmecanico · Answer 1

I) A OP se le plantea un problema de la forma

\begin{matrix} (1) & \dot{q} = F (q, pag), \dot{pag} = gramo (q, pag), \end{matrix}

$\tag{1} \dot{q}~=~f(q,p), \qquad \dot{p}~=~g(q,p),$

dónde $f$ y $g$ son dos funciones suaves dadas. Se le pide a OP que derive la condición de integrabilidad para las ecs. (1) para ser las ecuaciones de Hamilton.

\begin{matrix} (2) & \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial pag}, \dot{pag} = - \frac{\partial H}{\partial q} . \end{matrix}

$\tag{2} \dot{q}~=~\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot{p}~=~-\frac{\partial H}{\partial q}.$

OP deduce correctamente que

\begin{matrix} (3) & F = \frac{\partial H}{\partial pag}, gramo = - \frac{\partial H}{\partial q}, \end{matrix}

$\tag{3} f~=~\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad g~=~-\frac{\partial H}{\partial q},$

y que la condición de integrabilidad es la relación de tipo Maxwell

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial F}{\partial q} + \frac{\partial gramo}{\partial pag} = 0. \end{matrix}

$\tag{4} \frac{\partial f}{\partial q}+\frac{\partial g}{\partial p}~=~0.$

Michael Brown en un comentario luego explica que si

\begin{matrix} (5) & F (q, pag) = \int^{pag} d {pag}^{'} F (q, {pag}^{'}) \end{matrix}

$\tag{5} F(q,p)~=~\int^{p}\!dp^{\prime}~f(q,p^{\prime})$

es alguna antiderivada /integral primitiva/integral indefinida de la dada $f$ función, de modo que

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial F}{\partial pag} = F, \end{matrix}

$\tag{6} \frac{\partial F}{\partial p}~=~f,$

luego las ecuaciones (3a) y (6) implican que

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial (H - F)}{\partial pag} = 0. \end{matrix}

$\tag{7} \frac{\partial (H-F)}{\partial p}~=~0.$

En otras palabras, la diferencia $H-F$ no puede depender de la $p$ variable. Podría ser una función arbitraria $G(q)$ del $q$ variable solamente. Entonces el hamiltoniano es de la forma

\begin{matrix} (8) & H (q, pag) = F (q, pag) + GRAMO (q) . \end{matrix}

$\tag{8} H(q,p)~=~F(q,p)+G(q).$

Finalmente, se obtienen restricciones en el $G$ función conectando eq. (8) en la ec. (3b). Esto debería responder a la pregunta de OP (v4), y en principio hemos terminado.

II) Sin embargo, no podemos resistirnos a hacer el siguiente punto general sobre la existencia de una formulación hamiltoniana. La pregunta del título de OP es un poco académica si uno a priori insiste en que las variables $q$ y $p$ deben desempeñar el papel de variables canónicas. ¿Por qué uno insistiría en eso? El objetivo es, después de todo, obtener una formulación hamiltoniana, cueste lo que cueste. Entonces, una pregunta más realista es el siguiente problema más general.

Supongamos que tenemos un problema bidimensional de primer orden
$\begin{matrix} (9) & \dot{X} = F (X, y), \dot{y} = gramo (X, y), \end{matrix}$ $\tag{9} \dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y),$ dónde $f$ y $g$ son dos funciones suaves dadas. es la ec. (9) un sistema hamiltoniano $\begin{matrix} (10) & \dot{X} = {X, H}, \dot{y} = {y, H}, \end{matrix}$ $\tag{10} \dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\},$ con una estructura simpléctica $\{\cdot,\cdot\}$ y hamiltoniano $H(x,y)$ ?

La respuesta es, quizás sorprendentemente: Sí, siempre, al menos localmente, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

¡Qué gran respuesta! Si pudiera ser útil, una pregunta similar fue abordada por Giné et al. ( ddd.uab.cat/pub/artpub/2011/gsduab_3020/GinLli2011_Preprint.pdf ) y por Chavarriga et al. ( ac.els-cdn.com/S002203969893621X/… )

Encuentre el hamiltoniano dado p˙p˙\dot p y q˙q˙\dot q

amanecer

Nikolaj-K

amanecer

Miguel

amanecer

Miguel

amanecer

Miguel

amanecer

Respuestas (1)

qmecanico

Lo Scrondo

Soportes de Poisson y campo magnético [cerrado]

¿Cómo saber si una transformación es una transformación canónica?

¿Es H=T+UH=T+UH = T + U para un péndulo en movimiento circular?

Diferencia entre hamiltoniano en mecánica clásica y en mecánica cuántica

¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

¿Los hamiltonianos invariantes en el tiempo definen sistemas cerrados?

¿Es una transformación canónica equivalente a una transformación que conserva el volumen y la orientación?

Independencia de coordenadas y momentos generalizados en la mecánica hamiltoniana [duplicado]

¿Podemos resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?

Cargas/constantes de movimiento conservadas dentro y fuera del caparazón