En movimiento circular, ¿por qué v=ω×rv=ω×rv = \omega × r?

Los radianes no son una unidad adecuada, sino más bien un dispositivo de contabilidad, por lo que las unidades realmente funcionan. Las matemáticas para probar esto, al menos de una manera que encuentro satisfactoria, son algo complicadas. Entonces, consideremos el ejemplo de una partícula que gira alrededor del$z$-eje con frecuencia angular$\omega$.

Para ello, tenga en cuenta que la matriz

$$R(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$ implementa una rotación sobre el $z$-eje. Es decir, si por ejemplo tomamos la posición inicial de nuestra partícula como $$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{\hat x}$$ por lo que está sentado a una unidad del origen en el $x$-eje, luego el vector $$\boldsymbol{r}^\prime=R(\theta)\boldsymbol{r}$$ será la posición de nuestra partícula después de ser rotada por un ángulo $\theta$acerca de $z$-eje.

Entonces, si la velocidad angular está dada por$\omega$, entonces la velocidad angular de esta partícula se definiría como$\boldsymbol{\omega}=\omega\boldsymbol{\hat z}$. Por lo tanto, la posición angular de la partícula estará dada por$\theta=\omega t$y así la posición de la partícula en el tiempo$t$es dado por

$$\boldsymbol{r}(t)=R(\omega t)\boldsymbol{r}=\left(\begin{array}{ccc} \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\ \sin\omega t & \cos\omega t & 0\\ 0&0&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right).$$

Ahora, sabemos que la definición de velocidad es$\boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$, por lo que necesitamos tomar una derivada temporal de la matriz de rotación,

$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc} \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\ \sin\omega t & \cos\omega t & 0\\ 0&0&1 \end{array}\right)=\omega\left(\begin{array}{ccc} -\sin\omega t & -\cos\omega t & 0\\ \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\ 0&0&0 \end{array}\right)=-\omega\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\ \sin\omega t & \cos\omega t & 0\\ 0&0&1 \end{array}\right).$$ El último paso no es trivial, pero puedes comprobar tú mismo que se multiplica correctamente (puede que me equivoque con un signo menos). Es muy importante que terminemos con esta matriz numérica multiplicada por la matriz de rotación original.

Entonces, esto significa que

$$\boldsymbol{v}=-\omega\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\boldsymbol{r}(t).$$ Te dejo a ti comprobar que la acción de esta matriz sobre un vector en el $xy$-plano es equivalente a calcular el producto vectorial con $\boldsymbol{\hat z}$, que cuando se multiplica por ese factor de $\omega$que obtuvimos de la regla de la cadena, es el vector de velocidad angular.

Si bien este solo ha sido un ejemplo muy específico, este hecho de que la derivada de una matriz de rotación sea igual a alguna matriz multiplicada por la rotación original es en realidad una propiedad genérica de las rotaciones (que se puede resolver escribiendo las rotaciones como exponenciales de los generadores del álgebra de Lie de SO(3)).

Aunque la matriz que se factoriza no siempre es la escrita arriba (en general, dependerá de los ángulos por los que esté girando), este hecho de que sea equivalente a un producto cruzado {\em es} genérico y siempre ocurre . Esta es la razón detrás de la fórmula.$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$. (Nuevamente, perdone cualquier signo menos erróneo en lo anterior).

Hay otros enfoques para obtener este mismo resultado que puede encontrar en línea. Por lo general, estos implican dibujar algunas imágenes.

La circunferencia de un círculo es:$C = 2\pi r$

Si el número de revoluciones que recorriste es n, entonces la distancia recorrida es:

$L = 2\pi r n$

Si diferencia con respecto al tiempo para obtener la velocidad, obtiene:

$v = \frac{dL}{dt}= 2\pi r \times \frac{dn}{dt}$

$\frac{dn}{dt}$es revoluciones por segundo y$2\pi$son los radianes alrededor de un círculo completo.

Esto es lo suficientemente simple como para omitir por completo la diferenciación y hacerlo de manera intuitiva. Debería ser obvio por qué:

$velocity = circumference \times revolutions.per.second = 2\pi r \times revolutions.per.second$

Continuando, entonces$2\pi\frac{dn}{dt}$(o$2\pi \times revolutions.per.second$si lo prefiere) es radianes por segundo$\omega$.

Por lo tanto,$v = 2\pi r \times \frac{dn}{dt} =(2\pi\frac{dn}{dt}) \times r= \omega r$

---

Como han señalado otros, un radián no es una unidad. Los radianes son solo una medida proporcional (sin dimensiones) de la longitud del arco alrededor de un círculo en relación con la circunferencia de CUALQUIER círculo, de CUALQUIER tamaño. Dicho de otra manera, es una medida proporcional de qué tan lejos has recorrido un círculo completo en ángulo o en distancia; la misma cosa.

Empezar con la circunferencia de un círculo.$C = 2\pi r$

Digamos que necesitamos formar una unidad; una unidad que representa alguna longitud de arco alrededor de la circunferencia de un círculo. Sería muy conveniente si fuera independiente del tamaño del círculo, por lo que deberíamos elegir algo que se escale con el círculo en lugar de un número fijo.

No hay muchas cosas para elegir: radio, diámetro, circunferencia. La circunferencia no tiene sentido ya que queremos una razón proporcional a la circunferencia que deja el radio o el diámetro. Los matemáticos en el pasado eligieron el radio, pero podrían haber elegido fácilmente el diámetro.

Entonces, encontremos la relación entre el radio y la circunferencia de un círculo:

$\frac{r}{C} = \frac{r}{2\pi r} = \frac{1}{2\pi}$

Que el 1 en el numerador es un radian, y$2 \pi$en el denominador es lo que se necesita para dar la vuelta a la circunferencia. Entonces, realmente, un solo radián representa un radio de longitud de arco si define$2 \pi$como la circunferencia. ¿Por qué definimos las cosas de esta manera? Ayuda a mantener las matemáticas limpias.

También existe algo similar para una esfera, el Stearadian. Un solo estearadián es el área$r^2$,$r$siendo el radio de la esfera, y$4\pi$es el área total de la superficie de la esfera (viniendo de cómo$4\pi r^2$es el área superficial de una esfera). Se deriva exactamente de la misma manera que lo hice para un radián, excepto que la longitud del arco se reemplaza por el área y la circunferencia se reemplaza por el área de la superficie. Todo sube una dimensión.

Solo aprendí qué era realmente un radián hasta que tuve que aprender estearadianos y me di cuenta de que nada de eso tenía sentido porque no entendía qué era un radián.

La fórmula que enumeró es relevante cuando tiene un objeto que se mueve alrededor de un círculo de radio$r$.

$\vec{\omega}$es la cantidad del círculo que el objeto recorre en un período de tiempo (normalmente radianes/s) y tiene una dirección tangente al plano en el que se encuentra el círculo en el espacio 3D.$\vec{r}$es el vector que apunta desde el origen del círculo al objeto en su borde exterior.

La velocidad lineal es tangente al círculo, por lo que su dirección es$\hat{\omega} \times \hat{r}$. Puedes ver esto recordando que el producto vectorial de dos vectores tiene una dirección que es normal a ambos, por lo que seleccionará la otra dirección en el plano en el que vive el círculo, ya que$\hat{\omega}$está fuera del avión, y$\hat{r}$es normal al círculo.

La velocidad del objeto es la cantidad de distancia recorrida en el tiempo, ya que$|\vec{\omega}|$es el número de radianes que el objeto se mueve con el tiempo, solo necesitamos multiplicarlo por el radio del círculo para obtener la longitud del arco. Recuerda que la longitud del arco a lo largo de un círculo es$s = r \theta$.

Poniéndolo todo junto, la velocidad es$|\vec{\omega}| r$y la direccion es$\hat{\omega} \times \hat{r}$, esto es por supuesto$\vec{\omega} \times \vec{r}$.

Para agregar un poco a las respuestas anteriores. Casi siempre se supone (implícitamente) un sistema de coordenadas diestro.$\vec v = \vec \omega \enspace\times \enspace \vec r$asume un sistema de coordenadas de mano derecha donde los ángulos se miden en dirección contraria a las manecillas del reloj.$\vec \omega$es un vector axial que depende de la "orientación" del sistema de coordenadas, en contraste con un vector polar que no lo hace;$\vec v$y$\vec r$son vectores polares.

En un sistema de coordenadas para zurdos$\vec v = \vec r \enspace \times \enspace \vec \omega$.

Ver Symon Mechanics o Goldstein Classical Mechanics para más detalles.

$\vec v=\vec \omega\times \vec r$siempre es válido, no sólo en movimiento circular

Movimiento circular

el elemento de línea es

$$s=\varphi\,r$$ $\Rightarrow$

$$v=\frac{ds}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\,r=\omega\,r$$

para ver de donde viene el producto cruz tenemos que ir al espacio 3D

Espacio 3D

El eje de rotación es$\vec{\hat e}_\varphi$y el ángulo de rotación es$~\varphi~$por lo tanto

$$\vec{s}=S(\vec{\hat e}_\varphi\,,\varphi)\,\vec{r}$$

donde los componentes de$\vec r~$están en el sistema de coordenadas fijas del cuerpo, y$S~$es la matriz de rotación.

$\Rightarrow$

$$\vec{v}=\vec{\dot s}=\dot{S}(\vec{\hat e}_\varphi\,,\varphi)\,\vec{r}$$

con:

$$\dot{S}=S\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right]$$ $\Rightarrow$

$$\vec v=S\,\left(\vec{\omega}\times \vec r\right) ~,S^T\,\vec v=\vec{\omega}\times \vec r$$

donde$S^T\,\vec v~$son los componentes del vector$v$en el sistema de coordenadas fijas del cuerpo

Resultado

$$\boxed{\vec v=\vec \omega\times \vec r}$$

Dependiendo de la definición de$\vec{r}$puede establecer la ley como

$$\vec{v} =\vec{r} \times \vec{\omega}$$ donde $\vec{r}$es la ubicación del eje de rotación.

Lo anterior es completamente análogo a la definición de torque.

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$ donde $\vec{r}$es la ubicación de la fuerza.

También lo anterior es completamente análogo al momento de inercia de una partícula con momento$\vec{p}$cual es

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$ donde $\vec{r}$es la ubicación de la partícula.

Entonces, ¿qué tienen en común todos los anteriores? Todo lo anterior es un "momento de" cálculo, con$\text{(moment)} = \vec{r} \times \text{(quantity)}$. Hay velocidad = momento de rotación, torque = momento de fuerza y ​​momento angular = momento de momento.

La importancia de$\vec{r}\times$es dar como resultado la distancia perpendicular a una línea . Aquí hay una explicación gráfica de$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$

el vector$\vec{v}$es perpendicular al eje de rotación$\vec{\omega}$así como fuera del plano donde el vector$\vec{r}$recae$\vec{\omega}$. Más importante aún, la magnitud de$\vec{v}$depende de la distancia perpendicular$d$al eje de giro .

$$| \vec{v} | = d \,|\vec{\omega}|$$

Así que ves el$\vec{r}\times$da como resultado tener en cuenta la distancia perpendicular al eje de rotación.

Entonces, la magia del producto vectorial es que da como resultado un vector perpendicular con una magnitud proporcional a la distancia perpendicular. El resultado es que puedes deslizar los vectores$\vec{\omega}$,$\vec{F}$y$\vec{p}$a lo largo de su línea de acción, y no cambiará el problema, ya que la distancia perpendicular sigue siendo la misma.

En este sentido$\vec{v}$describe dónde está el eje de rotación, tal como$\vec{\tau}$describe dónde está la línea de acción de la fuerza y$\vec{L}$describe dónde está el eje de percusión (línea de impulso). Para todas estas cantidades, otro producto cruzado puede recuperar el punto en la línea más cercana al punto de referencia.

Puedes comprobar por ti mismo que

$$\vec{r}_\perp = \frac{1}{| \vec{\omega} |^2} ( \vec{\omega} \times \vec{v} )$$

Referencias:

• Lea aquí sobre productos cruzados: ¿Por qué usamos productos cruzados en física?
• Y aquí: ¿Por qué el torque es un producto cruzado?