¿Bajo qué condiciones se cumple la relación L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [duplicar]

Estoy suponiendo que por$I$te referías al momento de inercia relativo a un eje dado. Entonces tienes razón, la relación$\vec L=I\vec ω$no se sostiene en general. Así, por ejemplo, una partícula en movimiento circular alrededor de la$z$-eje en el plano$z=z_0$tiene momento angular relativo al origen que no apunta en el$z$dirección. Además, hace precesión sobre el$z$-eje.

La fórmula general es$\vec L=\mathbb I\vec\omega$, dónde$\mathbb I$es el llamado tensor de inercia , una matriz simétrica de tres por tres cuyos seis parámetros independientes dan toda la información sobre la inercia rotacional del cuerpo.

Se puede demostrar que para cualquier cuerpo rígido, hay al menos tres ejes de rotación perpendiculares, llamados ejes principales de inercia , de modo que el momento angular es paralelo a la velocidad angular. De hecho, esos ejes son los vectores propios del tensor de inercia.

Volvamos al ejemplo antes mencionado. Si añadimos una partícula idéntica girando en una posición diametralmente opuesta relativa a la primera, entonces la$xy$componente del momento angular total cancela el$\vec L$y$\vec \omega$son paralelos. Como podemos ver, si la distribución de masa es simétrica con respecto al eje de rotación, entonces el momento angular y la velocidad angular son paralelos y ese eje es en realidad un eje principal de inercia.

Resumiendo, el hecho de que el eje de rotación sea uno de los principales ejes de inercia es una condición tanto suficiente como necesaria para$\vec L$y$\vec\omega$ser paralelo A menudo es posible encontrar los ejes principales sin necesidad de diagonalizar el tensor de inercia. Se pueden probar las siguientes reglas:

1. Si el cuerpo tiene un plano de simetría que contiene el punto de referencia$O$(a partir del cual se calcula el tensor de inercia) luego el eje perpendicular a ese plano y que pasa por$O$es un eje principal.
2. Un eje de simetría a través de$O$es un eje principal. Dos ejes cualesquiera mutuamente ortogonales contenidos en el plano perpendicular al eje de simetría son ejes principales. Tenga en cuenta que por "simetría" queremos decir que la densidad de masa es simétrica bajo rotaciones.