¿Por qué usamos productos cruzados en física?

Esta es una gran pregunta. Los productos de puntos y cruces parecen muy misteriosos cuando se les presentan por primera vez a un nuevo estudiante. Por ejemplo, ¿por qué el producto escalar (punto) tiene un coseno y el producto vectorial (cruz) tiene un seno, en lugar de viceversa? ¿Y por qué estas mismas dos formas no obvias de "multiplicar" vectores juntos surgen en tantos contextos diferentes?

La respuesta fundamental (que desafortunadamente puede no ser muy accesible si eres un estudiante nuevo) es que solo hay dos tensores algebraicamente independientes que son invariantes bajo rotaciones arbitrarias en$n$dimensiones (decimos que son "$\mathrm{SO}(n)$invariante"). Estos son el delta de Kronecker$\delta_{ij}$y el símbolo de Levi-Civita$\epsilon_{ijk \cdots}$. Contraer dos vectores con estos símbolos produce los productos punto y cruz, respectivamente (este último solo funciona en tres dimensiones). Dado que las leyes de la física parecen ser isotrópicas (es decir, rotacionalmente invariantes), tiene sentido que cualquier método físicamente útil para combinar cantidades físicas como vectores debería ser también isotrópico. Los productos punto y cruz resultan ser las dos únicas opciones multilineales posibles.

(Por qué los mapas multilineales son tan útiles en física es una pregunta aún más profunda y fundamental, pero qué respuestas a esa pregunta son satisfactorias probablemente sea inherentemente una cuestión de opinión).

Un producto cruzado está muy relacionado con otro concepto, el producto exterior (o producto cuña). Un producto exterior es un producto muy natural que ocurre en álgebra. El producto exterior de dos vectores es un bivector, cuyas direcciones son muy naturales (mientras que el par como vector está en ángulo recto con la fuerza y ​​el brazo de palanca, en el producto exterior es simplemente un bivector definido por dos direcciones: la fuerza y ​​el brazo de palanca).

Desafortunadamente, los productos exteriores son difíciles de enseñar desde el principio. Toman muchas matemáticas. Los productos cruzados son mucho más fáciles de explicar. Y resulta que, en 3 dimensiones, los productos cruzados y los productos exteriores son isométricos. Se transforman de la misma manera. Si haces los cálculos con productos cruzados, obtienes la misma respuesta que si los hicieras con productos exteriores. Esto no funciona en todas las dimensiones (los productos cruzados son una cosa tridimensional, mientras que los productos exteriores se pueden hacer en cualquier número de dimensiones), pero funciona en 3, ¡y mucha física se hace en tres dimensiones!

Me estoy enfocando en la geometría de los productos cruzados.

Los productos cruzados se utilizan cuando estamos interesados ​​en el brazo de momento de una cantidad. Esa es la distancia mínima de un punto a una línea en el espacio.

1. La distancia a un rayo desde el origen . Un rayo a lo largo del vector unitario$\boldsymbol{e}$pasa por un punto$\boldsymbol{r}$en el espacio.

   $$d = \| \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e} || \tag{1}$$

   $d$es la distancia perpendicular al rayo (también conocido como el brazo de momento de la línea).

2. El brazo de momento de Force (Torque Vector) . Una fuerza$\boldsymbol{F}$a lo largo de$\boldsymbol{e}$provoca el siguiente par sobre el origen

   $$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{\tau} \| = d\, \| \boldsymbol{F} \| \tag{2}$$

3. El brazo de momento de Rotación (Velocity Vector) . una rotación$\boldsymbol{\omega}$sobre el eje$\boldsymbol{e}$hace que un cuerpo se mueva en la ubicación de origen por

   $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{v} \| = d\, \| \boldsymbol{\omega} || \tag{3}$$

4. El brazo de momento de Momentum (Angular Momentum) . Una partícula clásica con momento$\boldsymbol{p}$a lo largo de$\boldsymbol{e}$tiene momento angular con respecto al origen

   $$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \;\; \rightarrow \| \boldsymbol{L} \| = d\, \| \boldsymbol{p} \| \tag{4}$$

Es realmente mucho más simple que las otras respuestas hasta ahora. Usamos los productos punto y cruz (y todas las demás matemáticas) porque nos permiten crear modelos matemáticos bastante simples (es decir, las leyes de la física) que representan con precisión lo que el universo realmente hace.

Los productos cruzados a menudo se usan con pseudovectores (también conocidos como vectores axiales). Menos con vectores (también conocidos como vectores polares). Comprender la diferencia entre vectores axiales y polares ayuda aquí.

Tanto los vectores axiales como los polares son lo que los matemáticos considerarían un vector. Ambos son un conjunto de 3 coordenadas. A menudo se dibujan como flechas. Se pueden sumar y multiplicar por números como flechas.

Los físicos requieren algo más para considerar que una cantidad es un vector. Deben representar una cantidad física que se transforma de la manera correcta cuando cambias la base.

Los vectores polares representan cantidades como distancia, velocidad, aceleración y fuerza. Estos pueden describir el movimiento de una partícula puntual con una magnitud y dirección.

Los vectores axiales representan un conjunto diferente de cantidades, como la velocidad angular y el momento angular. Estos describen cosas como el movimiento giratorio en un plano. Son una magnitud y orientación del plano. Esto es equivalente al movimiento alrededor de un eje. A menudo se representan con una flecha, donde la flecha es paralela al eje y perpendicular al plano. La orientación del plano incluye la idea de sentido horario frente a sentido antihorario. Esto se representa poniendo la flecha en un lado o en el otro del plano según dicta la regla de la mano derecha.

Los vectores axiales a menudo surgen como el producto de dos vectores polares perpendiculares.$\vec\omega = (\vec r \times \vec v)/r^2$.

Para un objeto rígido fijo a un eje, cada punto solo puede moverse con$v$perpendicular a$r$. Pero una partícula libre puede moverse en cualquier dirección. Para este caso, el producto vectorial selecciona el componente de$v$que es perpendicular a$r$, el componente que contribuye a la rotación alrededor del eje. El resultado es un vector perpendicular a$v$y$r$de acuerdo con la regla de la mano derecha.

El campo magnético es un vector axial. Consulte ¿ Por qué el campo B es un vector axial? para más. Esto significa que una corriente genera un$B$campo a su alrededor, descrito por líneas de campo magnético. Para una corriente en línea recta, las líneas de campo son planas y circulares. Para corrientes más complejas, siempre son curvas cerradas. En cualquier punto, la línea de campo es el "eje" que es perpendicular al plano del campo magnético.

La fuerza magnética se genera cuando una carga se mueve en el plano de$B$. Es decir, cuando una carga se mueve perpendicular al "eje" de B. Esto es capturado por$\vec F = q\vec v \times \vec B$.

Los productos cruzados son inherentemente útiles cuando se describen rotaciones . Primero, veamos dos formas diferentes de describir las rotaciones en$\mathbb{R}^{3}$.

La primera forma de hacer esto es dar el eje de rotación, que viene dado por una línea ,$L$, en$\mathbb{R}^{3}$, y una magnitud (que representa el ángulo), que viene dada por un número,$\theta$, en$\mathbb{R}$. Si elijo un vector de longitud$\theta$, a lo largo de mi línea$L$, obtengo un vector, digamos$x \in \mathbb{R}^{3}$.

Otra buena manera de hacer esto es dar el plano en el que estoy girando, que puedo representar con dos líneas perpendiculares en$\mathbb{R}^{3}$y una magnitud (que representa el ángulo), que es nuevamente un número en$\mathbb{R}$. Codifico estas cosas eligiendo dos vectores$v,w \in \mathbb{R}^{3}$, y digamos que la magnitud está codificada por el producto de las longitudes$\|v \| \|w\|$. Esto significa que muchos pares diferentes de$v,w \in \mathbb{R}^{3}$dar la misma rotación, pero está bien. (Incluso puedo permitir más pares diferentes, al no asumir que$v$y$w$son perpendiculares, pero luego tengo que reemplazar su producto por el área de los paralelogramos que abarcan).

Ahora, el producto cruzado nos da una forma de traducir entre estas diferentes formas de codificar rotaciones. Para ser precisos, si$x \in \mathbb{R}^{3}$y la pareja$v,w \in \mathbb{R}^{3}$describir la misma rotación, entonces$x = v \times w$.

(El hecho de que muchos pares diferentes$v,w \in \mathbb{R}^{3}$describir la misma rotación significa que$x$se puede escribir como el producto cruz de muchas maneras diferentes, es decir, hay muchos$v',w' \in \mathbb{R}^{3}$tal que$v' \times w' = v \times w = x$.)

Ahora, por qué aparece esto en la física no tiene una respuesta tan clara, excepto que estas dos formas diferentes de representar las rotaciones tienen sus usos. Por ejemplo, en su ejemplo hablando de una carga que se mueve en un campo eléctrico, diría que esto es solo un hecho de la naturaleza que se estableció experimentalmente.

Un aparte interesante es que las rotaciones se pueden componer, es decir, dadas dos rotaciones, primero puedo hacer una y luego la otra para obtener una tercera rotación. Puede ser interesante tratar de averiguar cómo funciona esto en cualquiera de las imágenes que he dado anteriormente.

El producto vectorial es la representación del álgebra de mentira so(3). Esto significa que la rotación infinitesimal está representada por el producto vectorial.

No estoy seguro de cuán avanzado eres matemáticamente, por lo que es difícil saber cuánto agregar verbalmente. Además, estoy publicando desde una tableta, por lo que escribir es engorroso.

No hay una respuesta única, pero el producto vectorial implica algún tipo de rotación alrededor de un eje. Ya sea que se trate de una rotación física o de un desplazamiento matemático, depende de las circunstancias.

Un lugar donde el producto vectorial es bastante fácil de entender es en la relación entre el momento angular, la energía cinética de rotación y el par.

Avíseme si puede seguir las matemáticas, según el diagrama. Estoy hablando de las derivaciones en las cajas. El material debajo de eso está incompleto.