Período de tiempo de oscilación de torsión

Hay muchos ejemplos diferentes de sistemas oscilatorios que tienen esencialmente la misma forma matemática. Comencemos simplemente mirando un tipo de ecuación diferencial:

$a = \frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x$

Esta ecuación tiene una solución general (puedes comprobar esto)

$x(t) = A \sin (\omega t + \phi)$

que oscila con un periodo de$T=2\pi/\omega$ya que el sistema estará exactamente en el mismo estado en cualquier momento$t$y$t + 2\pi/\omega$. Entonces, si encontramos sistemas físicos que se describen mediante una ecuación de aceleración que se ve así, sabemos exactamente cuál es la solución.

Por ejemplo, en un sistema de resorte de masa tendríamos

$ma=-kx \rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} = -\left(\frac{k}{m}\right) x$

que es exactamente la misma forma que teníamos antes con$\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$, por lo que reemplazando esto en nuestra ecuación para el período obtenemos$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Lo mismo se aplica para su péndulo de torsión, cambia la posición$x$con posición angular$\theta$(esto no cambia cómo resolver la ecuación diferencial) y tenemos

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\left(\frac{C}{I}\right) \theta = -\omega^2 \theta$

como su ecuación diferencial con$\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}$, tiene la misma solución, y enchufando esto$\omega$en la fórmula de tu período obtienes

$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{C}}$

Esto muestra que una vez que resuelve la forma general de un tipo de ecuación diferencial, puede aplicarla a cualquier otro tipo de sistema que tenga la misma forma para su ecuación (esto también se usa en circuitos, perturbaciones en una órbita o prácticamente cualquier cosa). otra cosa que se aleja ligeramente de una posición de equilibrio estable)

Con respecto a la 'Cuestión básica', la$2\pi$value se utiliza como la representación en radianes de un ciclo completo; 360 grados en radianes.

Esto, por supuesto, se deriva de la ecuación de velocidad básica$v=\frac{s}{t}$, que, cuando se adapta para el movimiento circular se convierte en$\omega=\frac{\phi}{T}$, dónde$\phi$es igual a la distancia recorrida, que en el caso de un círculo completo es de 360 ​​grados, o$2\pi$rad.

Creo que lo que ha notado es que el movimiento oscilatorio es un comportamiento común entre los sistemas físicos. La notación utilizada a menudo se adapta a la apropiada para el caso. A los físicos les gusta trabajar en radianes ya que tienen cierta independencia del tamaño del sistema, y ​​de ahí obtenemos un factor de$2\pi$.