¿Por qué el torque es un producto cruz?

No tiene que ser considerado como un producto cruzado. Es muy conveniente pensarlo de esa manera, así que lo enseñamos primero. De hecho, incluso cuando lo aplico en mi trabajo, lo considero un producto cruzado.

Pero primero, tu pregunta sobre por qué aparece el brazo de palanca en las ecuaciones. De manera informal, debemos tener en cuenta la longitud porque un brazo de palanca más largo le brinda una mayor ventaja mecánica. Puedes probar esto, tú mismo, con una llave inglesa. Intente apretar un perno que sostiene la llave cerca de la cabeza, luego sostenga la llave más cerca del extremo, lo que le da un brazo de palanca más largo e intente apretarlo. Descubrirá que puede apretar el perno mucho mejor si tiene un brazo de palanca más largo.

En cuanto a una explicación matemática, puede mostrarla usando la conservación del momento y el momento angular. Construya cualquier escenario usando fuerzas y demuestre que el impulso se conserva (¡debería ser así!). Ahora, elija cualquier punto como el "centro" de su rotación y calcule los torques. Encontrarás que el momento angular se conserva. Si definiera el par sin el término del radio, encontraría que el momento angular no se conservaría. De hecho, resulta que si tienes fuerzas y conservación del momento, siempre puedes derivar pares y conservación del momento angular. Y si tiene pares y conservación del momento angular, ¡siempre puede derivar las fuerzas y la conservación del momento! Son una especie de duales el uno del otro.

Si quieres ir más allá, dentro de muchos años aprenderás Mecánica Lagrangiana y el Teorema de Nother . Aprenderá que la conservación de la cantidad de movimiento es un concepto muy fundamental relacionado directamente con el hecho de que nuestras leyes de la física son las mismas en todas las direcciones. Gire un experimento y las leyes de la física seguirán siendo las mismas. No existe una dirección privilegiada donde las leyes de la física sean "correctas".

En cuanto a por qué el torque es perpendicular a la fuerza y ​​el brazo de palanca, en realidad es solo un artefacto de las matemáticas, nada más. Cuando profundiza en la Mecánica Lagrangiana, lo que encontrará es que este momento angular es solo un caso especializado de un concepto más amplio llamado "momento angular generalizado". En el momento angular generalizado, el equivalente del momento de torsión está formado por el producto exterior , r ∧ F. Esto se conoce como bivector, en oposición a un vector normal. Esto funciona en cualquier número de dimensiones.

La definición exacta de estos bivectores es un poco complicada de trabajar:

El álgebra exterior Λ(V) de un espacio vectorial V sobre un campo K se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial T(V) por el ideal bilateral I generado por todos los elementos de la forma x ⊗ x para x ∈ V (es decir, todos los tensores que se pueden expresar como el producto tensorial de un vector en V por sí mismo).

¡Qué maravilla! Sin embargo, tenemos mucha suerte de vivir en 3 dimensiones. Resulta que, cuando sacas uno de estos bivectores en 3 dimensiones y observas cómo se comporta, aparece una curiosa conveniencia. Se comportan exactamente igual que los productos cruzados. Un bivector no es un vector, pero resulta que estos bivectores tridimensionales tienen las mismas propiedades matemáticas que los productos cruzados (que son un concepto tridimensional).

Por cierto, esta es también la razón por la que tenemos que elegir la convención de la regla de la mano derecha. Los bivectores se pueden calcular sin tal convención, pero cuando los mapeas en vectores usando el producto vectorial, hay dos opciones que puedes hacer: zurdos o diestros. Siempre que elija uno, el resultado es consistente.

Por lo tanto, por razones que deberían ser obvias, elegimos enseñar el torque como un vector definido por rx F, en lugar de un bivector, r ∧ F. ¡Es mucho más simple! Pero viene con un precio. El vector rx F tiene una "dirección", ya que es un vector. Esa dirección es perpendicular a la fuerza y ​​al brazo de palanca. El bivector no tenía este concepto particular de dirección. El concepto de dirección bivectorial tiene más matices y se relaciona más intuitivamente con la dirección de la fuerza y ​​la dirección del brazo de palanca.

Entonces, tienes tu razón para que el torque sea "perpendicular". Realmente no tiene nada que ver con la física, sino con evitar tener que enseñarte álgebra vectorial avanzada para hacer física básica. Obtiene la respuesta correcta usando el producto cruzado, porque los productos cruzados y los productos exteriores tridimensionales funcionan de la misma manera.

Quizás la mejor manera de explicar el torque es con respecto al uso de una herramienta común: la llave inglesa.

Si queremos apretar o aflojar un tornillo podemos usar una llave. Lo primero de lo que nos damos cuenta es que si el perno está congelado en su lugar, es más probable que lo liberemos si usamos una llave con un brazo más largo. Esto se debe a que la fuerza que aplicamos al brazo de la llave produce más torsión, o fuerza de giro, cuanto más largo sea el brazo de la llave. Comúnmente llamamos a esto obtener más "apalancamiento".

Primero, puede notar que si intenta girar la llave con su fuerza en ángulo con el brazo de la llave, es más difícil girar el perno que cuando está perpendicular al brazo. En resumen, su torque se maximiza cuando el ángulo de su fuerza aplicada es de 90 grados con el brazo. En el otro extremo, si tiraste o empujaste axialmente sobre el brazo, es decir, en un ángulo de cero, el perno no girará en absoluto. Para cualquier ángulo intermedio, es solo la componente de la fuerza perpendicular al brazo de la llave la que produce el par. Dado un ángulo θ entre la fuerza$F$y el brazo de la llave la componente de fuerza perpendicular al brazo tiene una magnitud de$F$sen θ.

A continuación, considere que el par es una cantidad vectorial y que una cantidad vectorial tiene dirección. El par está en la dirección de la velocidad angular que podría producirse si hubiera un par neto alrededor de un eje, como el que hace que una rueda gire. Dado que la única dirección única fija de la rueda giratoria es su eje de rotación, ese eje es una opción lógica para la orientación general del vector de par y velocidad angular, dejando dos opciones sobre la dirección del vector. Entonces es costumbre usar la regla de la mano derecha para especificar la dirección. Esta dirección también se puede visualizar en términos de la dirección en la que se movería nuestro perno con rosca a la derecha cuando se girara. Mirando hacia abajo en el plano que contiene la llave y la fuerza que se le aplica, girar el perno en sentido contrario a las agujas del reloj hace que el perno se mueva hacia arriba.

En conjunto, el vector torque es el producto cruz de la fuerza$F$veces el brazo de momento d (longitud del brazo de la llave desde el centro de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza) o

y

donde la dirección de$\vec{T}$es perpendicular al plano que contiene$\vec{d}$y$\vec{F}$. Por convención, usando la regla de la mano derecha, donde los dedos se curvan en la dirección del giro, el pulgar apunta en la dirección del torque positivo.

Espero que esto ayude.

(a) "¿Por qué consideramos la longitud entre el eje/punto de rotación al calcular el par?" Podemos calcular el par sobre cualquier punto, O, que elijamos; no tiene que ser un eje físico de rotación. Pero muchas veces es más útil calcular el par sobre un posible eje físico de rotación, por ejemplo al pensar en qué par debemos aplicar a una tuerca con una llave inglesa (llave inglesa) para deshacerla. En cuanto a por qué la longitud (o, específicamente, la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la fuerza) entra en la definición, ¡solo piense en tratar de deshacer esa tuerca!

(b) "¿por qué el torque es un producto cruz?" En notación vectorial definimos el momento de torsión respecto a O debido a una fuerza$\vec{F}$actuando en un punto desplazado por$\vec{r}$de O a ser$\vec{r} \times \vec{F}$. La magnitud,$|\vec{r} \times \vec{F}|$de este vector de torque es exactamente equivalente a la "fuerza$\times$definición de distancia perpendicular" que cité en (a). La dirección de$\vec{r} \times \vec{F}$forma ángulos rectos con el plano que contiene$\vec r$y$\vec F$y, por lo tanto, le dice la alineación del eje (posiblemente imaginario) alrededor del cual el par, actuando sobre una tuerca, ¡la giraría! [De hecho. con la convención habitual de 'mano derecha' para definir el producto cruz, si apunta el pulgar de su mano derecha en la dirección de$\vec{r} \times \vec{F}$, ¡los dedos de esa mano tenderán a enroscarse en el sentido de que la tuerca girará!]

El par se define como$\quad\vec{\tau}=\frac{d\vec{J}}{dt}$dónde$\vec{J}$es el momento angular del objeto. El momento angular se define como$\vec{J}=\vec{r}\times \vec{P}$. Entonces

Esta es una buena pregunta. Estoy de acuerdo en que la reflexión estándar de los libros de texto sobre este problema generalmente lo deja con ganas de más (pero esto quizás sea inevitable).

La pregunta básica con la que uno se enfrenta al principio es$-$¿Cómo es que de repente tenemos que cambiar a pares y momento angular cuando se trata de cuerpos rígidos, en lugar de meras fuerzas en el caso de partículas puntuales? Una hermosa respuesta a esto se puede encontrar en Synge & Schild, Tensor Calculus .

La verdadera razón de esto radica en la cinemática de rotación (es decir, cuáles son los grados de libertad y cómo se describen).

La idea lógica básica aquí es que, en$D$dimensiones, un cuerpo rígido tiene$\frac{D(D+1)}{2}$grados de libertad$-$ $\frac{D(D-1)}{2}$rotacional y$D$traslacional Si no te preocupas por los grados de libertad de traslación por ahora, puedes argumentar usando álgebra lineal básica que el movimiento euclidiano rígido se puede describir usando matrices ortogonales (es decir, si te sientas en un marco inercial y usas coordenadas cartesianas). En dimensiones espaciales impares, esto se puede considerar como la rotación del cuerpo alrededor de algún eje (por ejemplo, en 3D) que pasa por el punto estacionario (cf., por ejemplo, Goldstein).

Además, resulta que las rotaciones infinitesimales se pueden describir utilizando matrices antisimétricas reales (en un lenguaje más elegante, se dice que el álgebra de mentira de las matrices ortogonales se extiende por matrices antisimétricas reales). Los componentes de esta matriz describen el tensor (cartesiano) de velocidad angular$-$tenga en cuenta que el número de componentes independientes es$\frac{D(D-1)}{2}$en número, reflejando$\frac{D(D-1)}{2}$grados de libertad de rotación. Si conoce la dinámica de estos componentes, podrá predecir la orientación del cuerpo rígido.

Lo que realmente estás buscando son$\frac{D(D-1)}{2}$ecuaciones rotacionales de movimiento para describir el tensor cartesiano de velocidad angular. Puede hacerlo utilizando las leyes de Newton o el principio de D'Alembert (sujeto al hecho de que el cuerpo rígido solo puede moverse de formas específicas según lo permitan los grados de libertad). En cualquier caso, llegarás a la ecuación.

lo que significa que solo importan los pares externos.

Como ya lo describió @CortAmmon, esto es básicamente equivalente al lenguaje más elegante de formas diferenciales (que naturalmente están equipadas con una estructura antisimétrica).

En 3 dimensiones sucede que la ecuación anterior, que es una ecuación tensorial cartesiana de segundo orden de tensores antisimétricos, puede expresarse como una ecuación vectorial en términos de su dual de Hodge (suponiendo métrica euclidiana en el espacio). El resultado es que se habla del pseudo-vector de momento angular y del pseudo-vector de momento de torsión.

También hay una versión más elegante del principio de D'Alembert, que se conoce con el nombre de mecánica lagrangiana , en la que se pueden utilizar los profundos conocimientos de Emmy Noether entre las simetrías y las leyes de conservación.. Como @BenCrowell ha señalado en uno de los comentarios que esto predeciría que el movimiento libre de torsión de un cuerpo rígido conserva el momento angular (esto en realidad implica la suposición de que las fuerzas internas iguales y opuestas actúan a lo largo de la línea que une las partes internas de modo que energía potencial interna es independiente de la orientación del cuerpo rígido). Con esto se puede pensar en el momento angular como la cantidad conservada en caso de movimiento libre de cuerpos rígidos, cuya derivada en el caso general es equivalente a la ecuación de torque (con torques expresados ​​en términos de fuerzas y los puntos donde se aplican).

En cualquier caso, como se afirmó anteriormente, la respuesta real radica en la cinemática de rotación.$-$a saber, el hecho de que las rotaciones infinitesimales se describen utilizando matrices antisimétricas reales (en coordenadas cartesianas).

Una explicación de la escuela secundaria

Tomemos el argumento de la energía de las conferencias de Feynman.

Considere la rotación de un cuerpo con un punto fijo en 3D. Se puede definir el campo de velocidades como$\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}$, dónde$\mathbf{\omega}$es la velocidad angular (pseudovector) y el origen del sistema de coordenadas está centrado en el punto fijo.

Entonces la energía cinética del cuerpo viene dada por,

Y la tasa de cambio de la energía cinética es simplemente,

La potencia generada por fuerzas externas sería igual a$\frac{d}{dt} K$,

Si se supone que las fuerzas internas no realizan trabajo, entonces usando el teorema del trabajo y la energía, tenemos$P=\frac{d}{dt} K$, cuyos rendimientos,

lo que implica la ecuación de movimiento,

Una vez más vemos que la restricción de rigidez, que garantiza la existencia de$\mathbf{\omega}$, conduce a las definiciones usuales de momento angular y torque.

Eliminar la restricción de no tener ningún punto estacionario tampoco es demasiado difícil y conduce nuevamente a las ecuaciones de torque habituales.

Recomiendo las conferencias de Feynman para apreciar el principio de conservación de la energía si aún no lo ha visto.

La respuesta es porque podemos deslizar un vector de fuerza a lo largo de la línea de acción y no cambia el sistema. Por lo tanto, la ubicación de una fuerza a lo largo de la línea de acción no es importante y lo único que importa es el brazo de momento de la fuerza.

Considere un vector de fuerza$\boldsymbol{F}$actuando a través de un punto ubicado por el vector de posición$\boldsymbol{r}$. Ahora la línea de acción de la fuerza tiene dirección$\boldsymbol{\hat{e}} = \boldsymbol{F} / \| \boldsymbol{F} \|$y pasa$\boldsymbol{r}$. Finalmente, la fuerza-momento (torque) se calcula mediante

Ahora deslice la fuerza a lo largo de la línea de acción a una ubicación$\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{r} + \lambda\,\boldsymbol{\hat{e}}$. Darse cuenta de

La idea es que el producto cruz$\text{(position)} \times \text{(vector)}$solo usa los componentes perpendiculares de posición para el cálculo. Lo mismo se aplica para otras cantidades también:

Como mnemónico puedes recordar que$\boldsymbol{r} \times \rightarrow \text{(moment of)}$

La verdadera respuesta profunda es que el torque como cantidad es un campo vectorial. Cambia de valor dependiendo de la ubicación. La línea de acción de una fuerza está fija en el espacio, y dependiendo de dónde medimos el par sobre el valor es$\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$dónde$\boldsymbol{r}$es el vector de posición de cualquier punto a lo largo de la línea de acción.

Lo mismo puede decirse de la velocidad lineal y el momento angular. Esos dos son campos vectoriales del mismo tipo y, por lo tanto, usan las mismas leyes de transformación que se ven en (3).

Debe leer esta respuesta para obtener más detalles sobre la naturaleza del par y la geometría de la mecánica.

Debido a que cada punto de un objeto giratorio va en una dirección diferente, se eligió que el vector que representa la velocidad angular estuviera a lo largo del eje de rotación, la única dirección que caracteriza al sistema como un todo. El par como vector se define a lo largo del eje por la misma razón y porque queremos que el vector de par esté en la misma dirección que el vector de aceleración angular. Definiendo el par como el trabajo por unidad de ángulo de rotación que podría realizar una fuerza que tiende a causar una rotación, el par es proporcional a, r, y el componente de fuerza, que es perpendicular a, r. Entonces necesitamos relacionar tres vectores (fuerza, radio y torque) cada uno de los cuales está en ángulo recto con los demás. Supongo que el producto cruzado se inventó para hacer eso.