Placa oscilante de Feynman

Question

Placa oscilante de Feynman

Diracología

Consideremos un trompo simétrico, es decir, un cuerpo cuya distribución de masa tiene simetría axial (un cilindro, un disco, un cono, etc.) libre de cualquier par externo. Las ecuaciones de Euler para este cuerpo son

I_{1} {\dot{ω}}_{1} - (I_{1} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = 0,

$I_1\dot\omega_1-(I_1-I_3)\omega_2\omega_3=0,$

I_{1} {\dot{ω}}_{2} - (I_{3} - I_{1}) ω_{1} ω_{3} = 0,

$I_1\dot\omega_2-(I_3-I_1)\omega_1\omega_3=0,$

I_{3} {\dot{ω}}_{3} = 0,

$I_3\dot\omega_3=0,$ dónde

I_{i}

$I_i$ son los momentos principales de inercia (momentos de inercia a lo largo de los ejes principales ) y debido a la simetría axial

I_{1} = I_{2}

$I_1=I_2$ . Los componentes de la velocidad angular

\vec{ω}

$\vec \omega$ se dan a lo largo de los ejes principales.

La tercera ecuación da

ω_{3} = s,

$\omega_3=s,$ dónde

s

$s$ (giro) es constante. Las dos primeras ecuaciones se pueden combinar en ecuaciones simples de oscilador armónico y la solución es

ω_{1} = A porque (Ω t + d), ω_{2} = A pecado (Ω t + d), Ω = \frac{I_{3} - I_{1}}{I_{1}} s .

$\omega_1=A\cos(\Omega t+\delta),\quad \omega_2=A\sin(\Omega t+\delta),\quad \Omega=\frac{I_3-I_1}{I_1}s.$

En el marco del cuerpo (ejes principales), esto significa que el vector de velocidad angular tiene una proyección constante en el eje principal. $\rho_3$ pero su proyección en el plano $\rho_1\rho_2$ gira con velocidad angular $\Omega$ . Esto puede verse como una precesión de $\vec\omega$ alrededor del eje de simetría del cuerpo. El momento angular es $\vec L=I\vec\omega$ , entonces

\vec{L} = I_{1} A porque (Ω t + d) {\hat{ρ}}_{1} + I_{2} A pecado (Ω t + d) {\hat{ρ}}_{2} + I_{3} s {\hat{ρ}}_{3},

$\vec L=I_1A\cos(\Omega t+\delta)\hat\rho_1+I_2A\sin(\Omega t+\delta)\hat\rho_2+I_3s\hat\rho_3,$ Por lo tanto, se encuentra en el mismo plano que

{\hat{ρ}}_{1}

$\hat\rho_1$ y

ω

$\omega$ y muestra la misma precesión que este último.

En el marco inercial vemos el eje de simetría y $\vec\omega$ están precediendo con frecuencia $\Omega$ alrededor $\vec L$ . Para mí es esta precesión la que se ve como un tambaleo ( ver esto en 5:26 ).

Si consideramos un disco homogéneo, $I_3=2I_1$ entonces $\Omega=s$ . Sin embargo, el resultado clásico es un bamboleo de frecuencia. $2s$ . La demostración experimental se puede ver aquí a las 0:50 . Este resultado se puede obtener escribiendo los componentes de la velocidad angular en términos de ángulos de Euler y luego resolviendo para $\dot\alpha$ . Mirando los ángulos de Euler, parece que la revolución de la línea de nodos (indicada por N en la figura siguiente) corresponde al bamboleo y ambos períodos deberían ser iguales.

Entonces mi pregunta es: ¿ Por qué la tasa de precesión del vector de velocidad angular no da exactamente la frecuencia de oscilación? En otras palabras, ¿cómo es que la precesión de $\vec\omega$ es diferente a la línea de rotación de los nodos.

Respuestas (1)

Placa oscilante de Feynman

Diracología · Answer 1

¿Por qué la tasa de precesión del vector de velocidad angular no da exactamente la frecuencia de oscilación? En otras palabras, ¿cómo es que la precesión de $\vec\omega$ es diferente a la línea de rotación de los nodos?

Respuesta corta: porque la tasa de precesión $\Omega$ corresponde a la precesión de $\vec\omega$ en el marco del cuerpo, no en el marco de la Tierra. Las variables en las ecuaciones de Euler, $I_i$ , $\omega_i$ y $\tau_i$ , están en el marco del cuerpo.

La velocidad angular del disco tiene dos contribuciones, la componente $\vec\omega'$ debido al espín y la componente $\vec\omega''$ debido a una rotación del disco inclinado alrededor de un eje vertical. Este último corresponde al bamboleo visto por alguien en el marco de la Tierra.

Como podemos ver en la figura, la velocidad angular resultante $\vec\omega$ siempre está fuera del eje de simetría del disco, lo que significa que tiene una proyección que no desaparece en el plano del disco (línea discontinua). Al mismo tiempo, los ejes fijos en el plano del disco, $\rho_1$ y $\rho_2$ gira con giro $s$ (visto por alguien en el marco de la Tierra). Por lo tanto, alguien en el marco del disco verá los ejes fijos y la proyección de $\omega$ en este plano girando con velocidad $s$ . Es por eso que la tasa de precesión es igual al giro.

Por otro lado, el efecto de bamboleo se debe a que no desaparece $\vec\omega''$ . A $2\pi$ la rotación alrededor de la línea vertical corresponde a una oscilación completa (bamboleo), por lo tanto, la frecuencia del bamboleo es en realidad igual a la magnitud de $\vec\omega''$ .

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Diracología

Respuestas (1)

Diracología

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