Significado de la velocidad angular en un sistema giratorio

Es simple.$\vec{\omega}_{[e]}$no son las componentes de la velocidad angular que se ven en el marco de referencia unido al propio cuerpo rígido. Como usted señala, esa velocidad angular es cero.

Es el resultado de la manipulación matemática. Tiene un conjunto de relaciones entre los vectores base del marco inercial y el marco giratorio, y lo usa para escribir$\vec{\omega}$en términos de los vectores base del marco giratorio para simplificar el cálculo. El significado físico de$\vec{\omega}$sigue siendo la velocidad angular vista en el marco de referencia inercial.

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¿Por qué el formalismo matemático para el cambio de base no es suficiente aquí? Porque tanto el cambio de matriz de base como la definición de velocidad (angular) involucran un parámetro externo: el tiempo. En la relatividad general, el tiempo y el espacio se fusionan, y cada vector en el espacio-tiempo de 4 dimensiones tiene partes temporales y espaciales. En ese caso, todos los vectores se transforman muy bien como dictan las matemáticas.

Volviendo a la mecánica clásica, debido al estado especial del tiempo, no existe una fórmula general que transforme las cantidades físicas de un marco a otro con un movimiento de rotación relativo. Sin embargo, la velocidad angular es un caso especial. La transformación es tan simple como

$$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}'+\boldsymbol{\Omega},$$

dónde$\boldsymbol{\Omega}$es la velocidad angular relativa del marco cebado con respecto al no cebado.

Lo que hacemos cuando tenemos un cuerpo rígido en movimiento es adjuntar algunas coordenadas al cuerpo, por lo que un origen$O'$y tres vectores base. Ahora, la posición de un punto en relación con el origen de un marco de referencia fijo de origen$O$es

$$\vec R_i= \vec{OO'}+ \vec r_i$$

dónde$\vec r_i$es el vector de posición con respecto al origen del marco de referencia del cuerpo$O'$.

Puede demostrar , mediante el teorema de rotación de Euler y consideraciones geométricas simples, que la velocidad de un punto con respecto al marco de referencia fijo es

$$\vec V_i = \vec V_{O'} + \Omega \vec r_i$$ dónde $\Omega$es una matriz de 3x3, llamada tensor de rotación. Se puede demostrar que esta matriz es antisimétrica, por lo que siempre se nos permite escribir $$\Omega\vec b=\vec\omega\times \vec b$$ dónde $\omega$es un vector asociado a $\Omega$y sus componentes son los componentes independientes de $\Omega$. La fuerza de este formalismo es que $\omega$es único para todos los puntos (!) y solo depende del tiempo. Entonces, es una velocidad angular de rotación instantánea .

Entonces, en el marco de referencia adjunto al cuerpo rígido, no vemos la rotación de ningún punto, y eso es intuitivo debido a la restricción de rigidez. De hecho, si quisiéramos escribir$V_i$en la referencia adjunta al cuerpo tendríamos simplemente$\vec r_i=\vec 0 \Rightarrow \vec V_i = \vec 0$. Por lo tanto, todos los puntos están en reposo en este marco de referencia.

Cuando dices "queremos una fórmula rápida para la energía cinética de rotación", supongo que quieres decir

$$E_R = \frac {1}{2} I\omega^2$$ . Ahora, para cualquier sistema mecánico sabemos por el Teorema de Koenig que la energía cinética total de un sistema es la energía de traslación del centro de masa + la energía respecto al centro de masa. En el caso de un cuerpo rígido, estando prohibida la traslación de un punto respecto a otro sobre el volumen del cuerpo, la única energía cinética "interna" posible es la de rotación: $E_R$dónde $I$es el momento de inercia. Si nos ponemos en el marco de referencia unido al cuerpo rígido, y tomamos como origen el centro de masa, sólo tenemos el término de energía cinética "interna", sin la energía de traslación del centro de masa. reanudando: $$Koenig: \ \ \ K_{TOT}=Mv_C^2/2+\int_V dm v_i^2/2$$ $$Rigid body:\ \ \ \int_V dm V_i^2/2 = \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2$$

$$RF\ with\ origin\ in\ C:\ \ \ \int dm |\vec v_C + \vec\omega\times\vec r^{(C)} |^2/2= \int dm |\vec r^{(C)}|^2 \omega^2/2 = I_{C}\omega^2/2$$ dónde $r^{(C)}$es la posición del elemento de masa $dm$respecto al centro de masa. Por fin, por fin: $$K_{TOT}=M v_C^2+I_C\omega^2/2$$ dónde $\omega$está bien definida para un determinado $t$y es el mismo para todos los puntos. Moraleja: no necesita un marco de referencia giratorio para tener una forma "simple" de la energía cinética de un cuerpo rígido. Espero que esto ayude.