¿El giro tiene algo que ver con la tasa de cambio?

Abordaré principalmente tu última pregunta:

El teorema de Ehrenfest relaciona el valor esperado del operador de momento lineal con la tasa de cambio del valor esperado del operador de posición con respecto al tiempo. ¿Se puede relacionar el valor esperado del operador de momento angular de espín con la tasa de cambio del valor esperado de algún operador?

Bueno, veamos qué obtenemos si aplicamos el teorema de Ehrenfest a una partícula de espín 1/2 en un campo magnético. La energía de interacción entre un dipolo magnético y un campo magnético B es

$$E = \mathbf µ· \mathbf B$$

dónde$\mathbf µ$, el momento magnético, es un operador vectorial y viene dado por

$$\mathbf µ = \gamma \mathbf S$$

Aquí$\gamma$es la relación giromagnética .

Todo esto es física clásica, pero yo diría que podemos extender las ecuaciones a la mecánica cuántica de manera sencilla. Si consideramos que el espín es una matriz, entonces su hamiltoniano es ( fuente de la derivación )

$$H=-\gamma \mathbf S·\mathbf B$$

Como ejemplo, si elegimos nuestro sistema de coordenadas para que$\mathbf B = B\mathbf k$, después

$$H=-\gamma BS_z=-\gamma B\frac{ℏ}{2}\sigma_z$$

dónde

$$\sigma_z=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)$$

Aplicando el teorema se obtiene la tasa de cambio de$\left\langle S_x \right\rangle$,

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle S_x \right\rangle}{dt}= \frac{1}{i\hbar}\langle\left[ S_x,H \right]\rangle = \omega \left\langle S_y \right\rangle$$

dónde$\omega=-\gamma B$es la frecuencia de Larmor . La precesión de Larmor es la precesión del momento magnético de cualquier objeto con un momento magnético sobre un campo magnético externo. Según Wikipedia, el fenómeno es similar a la precesión de un giroscopio clásico inclinado en un campo gravitatorio externo (siendo aquí el par producido por el momento magnético análogo al par gravitatorio externo en el caso del giroscopio).

Para las tasas de cambio de$\left\langle S_y \right\rangle$y$\left\langle S_z \right\rangle$, obtenemos:

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle S_y \right\rangle}{dt}= - \omega \left\langle S_z \right\rangle, \displaystyle\dfrac{d\left\langle S_z \right\rangle}{dt}= 0$$

Usando las propiedades de las matrices de Pauli, podemos escribir las ecuaciones anteriores de una manera más compacta:

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle \mathbf S \right\rangle}{dt}= \gamma \left\langle \mathbf S \right\rangle \times \mathbf B$$

De acuerdo con The Quantum Theory of Motion de Peter H. Holland, es posible una analogía clásica para esta ecuación de movimiento de precesión del vector de espín en un campo magnético (de hecho, la primera ecuación que deriva es más complicada, ya que incluye un "cuántico"). esfuerzo de torsión"). En general, afirma (sección 9.3.3., ¿Existe un análogo clásico del espín? ):

Concluimos que el análogo clásico de los sistemas regidos por la ecuación de Pauli es un conjunto de dipolos cargados y uno pasa continuamente entre los dos regímenes variando la efectividad del potencial cuántico y el par. El objeto "giratorio" no desaparece en el límite, simplemente evoluciona de manera diferente.

Mi forma de verlo es que la dependencia del tiempo de los valores esperados de espín sigue la ecuación clásica de movimiento para el vector de momento angular. Esta conclusión también se encuentra en este artículo llamado Significado del teorema de Ehrenfest en la relación cuántica-clásica , que además afirma:

En la medición del momento magnético de neutrones y otros núcleos por el método de inducción nuclear, Bloch* ha utilizado esencialmente estas ecuaciones clásicas prescindiendo de la ecuación de Schrödinger del argumento simple basado en ET.

(*referencia)

Cuando estudias la teoría de la representación del grupo de Poincaré, una de las cosas que aprendes son los llamados pequeños grupos o grupos de isotropía. Estos clasifican las representaciones del grupo de poincaré por un método llamado representaciones inducidas. Cuando haces todo eso, eventualmente descubres que cada partícula masiva tiene un número cuántico que la hace bosónica o fermiónica. Ahora, dado que el grupo de Poincaré simplemente codifica las transformaciones del espacio-tiempo, creo que somos libres de concluir que el espín es una propiedad que tiene una partícula. Ya que, después de todo, podríamos haber asumido que solo había una partícula en el universo eliminando la posibilidad de que el giro estuviera conectado a cualquier cosa que le sucediera o que hiciera algo.

Si quieres algo más físico, imagina poner un campo magnético cerca de un electrón en alguna dirección. El espín se acopla al campo magnético. Luego, en la esfera del bloque, esto provoca una precesión sobre el eje que se acopla al campo magnético. Entonces, concretamente, tome el hamiltoniano como$H =\sigma_z B_z$dónde$B_z$es alguna constante relacionada con la fuerza del campo magnético, entonces habrá precesión sobre la dirección espacial z. Esto se puede ver calculando$\langle\sigma_x(t)\rangle \text{ and } \langle\sigma_y(t)\rangle$.

Recuerde también que el cambio en el momento angular es el par, pero el par requiere una noción de fuerza que no puede existir en la mecánica cuántica. Los valores esperados de los operadores de posición e impulso están aprovechando su límite clásico. El giro cuántico no tiene límite clásico, ese es el punto del experimento de Stern-Gerlach.

Sin ninguna interacción, diría que la propiedad de giro no tiene sentido. Se manifiesta como un operador flip (que tiene valores propios negativos/positivos discretos) a través de interacciones, como la que tiene un aparato de Stern-Gerlach. Pero la dependencia del tiempo del espín se vuelve relevante si un electrón interactúa continuamente con un campo electromagnético externo. Busque la precesión de Larmor . Cuando pones un electrón en un campo magnético uniforme, el giro comienza a tener una precesión en la dirección determinada por el campo magnético. Para el caso más general en el que tenemos campos eléctricos y magnéticos uniformes, existe la ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi (BMT) para la precesión de espín:

$$\frac{ds^{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{m}\left[\frac{g}{2} F^{\mu\nu}s_{\nu} +\left(\frac{g}{2}+1\right)u^{\mu}\left(S_{\lambda}F^{\lambda\nu} u_{\nu}\right)\right]$$ dónde $\tau$es el momento adecuado. Se supone que esta ecuación se resuelve de acuerdo con la ecuación de fuerza clásica de Lorentz: $$\frac{du^{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{m} F^{\mu\nu}u_{\nu}$$ La ecuación BMT es una ecuación clásica. En el sentido operativo, $s^{\mu}$corresponde a la polarización de espín del electrón y la ecuación BMT da la tasa de cambio a la que la polarización transversal se transforma en longitudinal y viceversa. Puede consultar este documento para conocer los detalles.

Hasta donde yo sé, no tenemos un análogo mecánico cuántico de la ecuación BMT. Pero en las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadores, aparece el giro:

$$\begin{align} \frac{d x_{\mu}}{d\tau}=\Pi_{\mu} ,\qquad \Pi_{\mu}=p_{\mu}-\frac{e}{c}A_{\mu}(x)\\ \frac{d\Pi_{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{c}F_{\mu\nu} -\frac{i e}{2c}\partial_{\nu} F_{\mu\nu} + \frac{e}{4c}\sigma_{\lambda\nu}\,\partial_{\nu}F_{\lambda\nu},\qquad \sigma_{\lambda\nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma_{\lambda},\, \gamma_{\nu} \right] \end{align}$$ Estas ecuaciones se reducen a la ecuación de fuerza de Lorentz en el límite clásico. Entonces, el giro del electrón no tiene efecto en la trayectoria clásica. Pero en campos electromagnéticos intensos que muestran oscilaciones muy rápidas, el espín afecta los valores esperados de los operadores.

La forma más útil de comenzar aquí es con alguna teoría de grupos que se aplique por igual tanto a la física clásica como a la cuántica. Ya sea en la física clásica o cuántica, estamos interesados ​​en las propiedades que pueden conservarse bajo traslaciones, rotaciones y impulsos (cambios entre marcos de inercia), o comportarse de manera simple bajo tales transformaciones básicas. Por lo tanto, terminamos definiendo cosas como la masa, la energía y el momento, y también el momento angular ordinario (u "orbital").

Ahora sucede que el momento angular de espín se descubrió en física casi al mismo tiempo que la teoría cuántica, lo que hizo que la gente asumiera que tenía algo que ver con la mecánica cuántica. Lo es, pero no más que la energía y el impulso y otras propiedades más familiares. Puedes tener una física clásica del giro.

El grupo de transformaciones y traslaciones de Lorentz se denomina grupo de Poincaré. Cuando estudia qué tipo de cosas pueden sufrir tales transformaciones, surge naturalmente una propiedad similar al momento angular que puede asociarse con partículas puntuales. Otra forma de ver esto es aprender sobre los espinores y aprender que se comportan de manera sensata bajo las transformaciones de Lorentz, y todo esto es física clásica (no cuántica).

Lo que esto significa es que la propiedad que llamamos espín se puede asociar con partículas puntuales de la misma manera que se puede asociar la masa y la carga. La diferencia, por supuesto, es que es una propiedad vectorial (un vector axial para ser precisos). No es una propiedad de su movimiento a través del espacio, pero su presencia puede manifestarse cuando influye en ese movimiento. Ciertos tipos de interacción que dan como resultado un momento de torsión en la partícula pueden cambiar la dirección de su giro, y resulta que cuando esto sucede, el momento angular orbital de un sistema aislado no se conserva, pero la suma del giro y el momento angular orbital es conservado.

En principio, se puede observar el límite clásico para el espín. Por ejemplo, se podría tomar un conjunto de muchos átomos y formar un estado de espín total que consista en una suma de estados de espín tal que los tres componentes del espín total estén razonablemente bien definidos. Esto es un poco como tomar estados del oscilador armónico y combinarlos en las combinaciones (superposiciones) llamadas estados coherentes de Glauber, donde la posición y el momento tienen distribuciones gaussianas. En el caso del espín, cada uno de los componentes del espín tiene una media grande y una distribución gaussiana sobre esa media con una desviación estándar más bien pequeña. Lo que distingue aquí lo clásico de lo cuántico es que el sistema clásico se puede observar sin perturbarlo significativamente.

Tal sistema clásico tendría mucho momento angular de espín, pero no tendría ningún movimiento a través del espacio asociado con ese espín, incluida la rotación. No es necesario que haya ningún movimiento en absoluto. Nada. Zippo. En una interacción con otra cosa, sería posible que la otra cosa adquiriera un momento angular orbital mientras cambiaba el estado de espín de nuestro espín clásico, por ejemplo, haciéndose más pequeño o apuntando en otra dirección.

Noté que algunos comentarios sobre la pregunta parecen sugerir que algunas personas piensan que el giro no puede sumar de esta manera. Esto puede deberse a que tienen en mente el estado sólido, donde hay interacciones sustanciales entre el espín y la órbita. Pero en un gas se aplicaría lo que he escrito, y hay algunos experimentos en física atómica que usan gases enfriados por láser donde se explora este tipo de cosas.

(...) mi pregunta es, ¿se puede relacionar el giro con una tasa de cambio de cualquier cosa con respecto al tiempo? El giro puede no estar relacionado con la rotación en$\mathbb{R}_3$, pero ¿podemos relacionarlo con una rotación u otro tipo de movimiento en algún otro espacio, posiblemente un espacio no euclidiano?

Realmente depende de lo que quiera decir con "cambio de cualquier cosa con respecto al tiempo", pero la respuesta general es no , no en la forma en que probablemente lo esté pensando.

No , porque no es correcto pensar que el momento angular de giro ( SAM ) de una partícula se debe a cualquier tipo de "rotación" u otro "movimiento" en cualquier espacio (Hilbert). Un electrón con espín$+1/2$no es rotativo, ni cambiante, por el solo hecho de tener un SAM. De hecho, si ninguna influencia externa actúa sobre el electrón, tal estado de espín (o cualquier otro estado de espín) será un estado propio del sistema, lo que significa que, por definición, es estacionario : nada tiene que "moverse" para ese electrón. poseer tal SAM.

Si ese fuera el caso, significaría que el giro no es realmente un número cuántico "fundamental", sino solo una "característica" de alguna propiedad más fundamental. Es importante notar que un argumento similar también es válido para el momento angular orbital : una partícula (o una partícula compuesta, o cualquier otro tipo de estado cuántico) con un momento angular orbital definido no es necesariamente algo que pueda considerarse como "girando alrededor de ": una sola partícula con una función de onda espacial adecuadamente estructurada puede tener un momento angular orbital definido, pero no estar girando en ningún sentido de la palabra (por otro lado, es cierto que el momento angular orbital es generalmente una característica de la espacial). perfil de la función de onda,

Nos gusta imaginarnos los electrones en los átomos como "girando" alrededor del núcleo, pero esa imagen es realmente tan incorrecta como la imagen de un espín giratorio: los electrones (o mejor dicho, los sistemas núcleo+electrón) están en un estado estacionario , lo que significa que nada está cambiando con respecto al tiempo . Sin embargo, la diferencia en tales casos es que el número cuántico del momento angular orbital está completamente escrito en la estructura de la función de onda espacial y, por lo tanto, de ninguna manera es una propiedad intrínseca de las partículas.

Sí , en el sentido de que, por supuesto, el estado de giro puede cambiar con respecto al tiempo, u otras propiedades de la partícula pueden cambiar con respecto al tiempo dependiendo de su estado de giro. Ponga un electrón en un campo magnético apropiado y verá que se mueve en una dirección u otra dependiendo de su estado de espín. O la dirección de giro en sí misma puede estar girando con una frecuencia angular fija, como sucede con los núcleos en una máquina de RMN .

¡Pero SAM se parece tanto a un momento angular regular!

¿Lo hace? ¿Crees que un solo fotón con un valor definido de la polarización gira? Probablemente no, ¡pero deberías! La "polarización" de la luz no es más que un nombre diferente para el giro de los fotones. Sin embargo, en el caso de los fotones, la mayoría de la gente parece no tener tantas dificultades para ver la polarización como algo no relacionado con una especie de rotación.

¿Se puede relacionar el valor esperado del operador SAM con la tasa de cambio del valor esperado de algún operador "interpretable clásicamente"?

¡No! La única forma de que esto tenga sentido es la existencia de un "equivalente clásico" de SAM. No hay tal cosa . ¿Por qué? Dicho claramente, porque no lo hay: los objetos clásicos en realidad solo se caracterizan por la posición y el momento.

Pero ¿qué pasa con el teorema de Ehrenfest?

¿Qué pasa con eso? Seguro que puedes aplicarlo, en su forma general indicando la relación entre la variación del valor esperado de un operador y el valor esperado del conmutador del operador con el hamiltoniano:

$$\frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [ A, H] \rangle,$$ espera para cualquier operador$A$medir una propiedad intrínseca (es decir, independiente del tiempo) de una partícula. Si lo tomas$A=S_z$, o algún otro componente del giro, obtendrá una expresión para la tasa de variación del valor promedio de la SAM en el sistema particular que se está considerando. Si es un electrón en un campo electromagnético obtendrá una expresión para la variación de tiempo de$\langle S_z \rangle$con respecto al campo electromagnético particular aplicado, que dirá cómo evoluciona el espín de la partícula, pero no mucho más. Si en cambio quieres encontrar algún operador$A$tal que $$\frac{d}{dt}\langle A \rangle \simeq \langle S_z \rangle,$$ probablemente puedas encontrarlo: necesitas encontrar un sistema descrito por un hamiltoniano$H$tal que hay un operador$B$tal que$[A,H] \simeq S_z$. No veo razones para que esto no sea posible, pero difícilmente le dará una idea de la naturaleza de SAM, ya que dependerá en gran medida del sistema particular que esté considerando. De hecho, no debe pensar en el teorema de Ehrenfest como algo que proporciona una conexión general entre la mecánica clásica y la cuántica, ya que no es más que una forma alternativa y equivalente de establecer la ecuación de Schrödinger .

Pero, ¿por qué el momento angular de espín está tan estrictamente relacionado con el momento angular orbital?

Debido a que el objeto cuántico "correspondiente" al momento angular clásico es el operador de momento angular total ,$\boldsymbol J = \boldsymbol L + \boldsymbol S$. Esto es una consecuencia del hecho de que el Lagrangiano que describe las interacciones entre las diversas partículas solo conserva el momento angular total, no singularmente el espín o los componentes orbitales del mismo. Esto no es tan antinatural como puede parecer a primera vista. Piense, por ejemplo, en la función de onda 3D de un fotón o electrón. Si bien estamos acostumbrados a pensar que una de esas partículas tiene algún valor de SAM, en general tendrá una amplitud de probabilidad de que la partícula tenga un valor de SAM para cada punto de la función de onda (o dicho de manera equivalente, entrelazamiento entre SAM y la posición) . El operador SAM$\boldsymbol S$actúa sobre dicha función de onda rotando los grados de libertad SAM en cada punto del espacio, dejando sin cambios la distribución de amplitud espacial . El operador de momento angular orbital$\boldsymbol L$por otro lado rota la distribución espacial de amplitudes, manteniendo intacto el grado de libertad de espín asociado a cada punto. Ahora, ¿por qué todo este complicado lío debería ser invariable cuando aplicas solo una de estas dos operaciones? De hecho, no lo hará en el caso general: deberá rotar la distribución espacial y los grados de libertad internos en consecuencia para obtener la misma estructura.

Esta no es una respuesta per se, porque ¿por qué lo sería? No hay una idea clara de a qué se debe considerar similar el giro de una partícula. Esta pregunta ha sido golpeada hasta la muerte y ha sido reciclada y reformulada de muchas maneras diferentes, francamente, se está volviendo tediosa. O puede ser que soy demasiado negativo; de todas formas.

Extracto de la descripción de Uhlenbeck y Goudsmith del relato de dónde proponen que el espín de un electrón tenga$\pm \frac{1}{2}$.

[...] Lorentz nos recibió con su conocida gran amabilidad, y se mostró muy interesado, aunque también me siento algo escéptico. Prometió pensarlo bien. Y de hecho, ya la próxima semana nos entregó un manuscrito, escrito con su hermosa letra, que contiene largos cálculos sobre las propiedades electromagnéticas de los electrones en rotación. No pudimos entenderlo completamente, pero estaba bastante claro que la imagen del electrón en rotación, si se tomaba en serio, daría lugar a serias dificultades. Por un lado, la energía magnética sería tan grande que, por la equivalencia de masa y energía, el electrón tendría una masa mayor que el protón o, si nos atenemos a la masa conocida, ¡el electrón sería más grande que todo el átomo! En cualquier caso, parecía una tontería.

Es posible que hayas leído esto, pero esto es solo para mostrarle a la gente que cualquier intento de 'describir' el giro como 'algo' conduciría a que la gente lo reduzca a cenizas si se involucra en reductio ad absurdum. Simplemente levantamos la mano y decimos, para bien o para mal, que el giro es solo algo... como anticipas que es como la masa o la carga que una partícula 'simplemente tiene'.

¿El giro tiene algo que ver con la tasa de cambio?

Sí. El giro es real.

El momento angular orbital de una partícula se puede relacionar con la revolución de esa partícula alrededor de algún eje externo.

Sí, pero no pienses en la partícula como algo parecido a un planeta. Ver orbitales atómicos en Wikipedia: "Los electrones no orbitan alrededor del núcleo a la manera de un planeta que orbita alrededor del sol, sino que existen como ondas estacionarias". Una mejor analogía para el momento angular orbital es jugar hula hoop.

Pero en la mecánica cuántica, el momento angular de giro de una partícula no puede considerarse como la rotación de la partícula sobre su propio eje. Esto se debe a varias razones. Por un lado, necesitas rotar el estado de espín de un electrón 720 grados, no 360, para recuperar el estado de espín original, que no es como funcionan las rotaciones.

El giro intrínseco es una rotación real. El efecto de Einstein-de Haas demuestra que "el momento angular de giro es de hecho de la misma naturaleza que el momento angular de los cuerpos en rotación tal como se concibe en la mecánica clásica". Los 720 grados están ahí porque el electrón no es solo un " espinor ", es un " bispinor ". Creo que la mejor manera de entender esto es pensando en una ola dando vueltas así:

^{Imagen cortesía de las animaciones toroidales de Adrian Rossiter.}

Por otro lado, como discuto aquí, Goudsmit y Uhlenbeck demostraron que si el giro de un electrón realmente se debiera a la rotación sobre su propio eje, entonces el punto a en el ecuador se estaría moviendo a una velocidad mayor que la velocidad de la luz.

Es un non-sequitur. Puede verlo en una versión antigua del artículo de Wikipedia Stern-Gerlach : "Si este valor surge como resultado de la rotación de las partículas de la forma en que rota un planeta, entonces las partículas individuales tendrían que estar girando increíblemente rápido. Incluso si el electrón radio fuera tan grande como 2,8 nm (el radio clásico del electrón), su superficie tendría que estar girando a 2,3 × 10$^{11}$milisegundo. La velocidad de rotación en la superficie sería superior a la velocidad de la luz, 2.998×10$^8$m/s, por lo que es imposible. En cambio, el momento angular de giro es un fenómeno puramente mecánico cuántico". Por supuesto, el electrón no gira como un planeta, es una partícula de giro ½. Es un hombre de paja decir que no puede girar como un planeta, por lo que puede No estará girando en absoluto. Es fatuo decir que el giro intrínseco del electrón es una cosa mística mágica que supera todo entendimiento humano. Es como el giro de un ciclón. Quita el giro de un ciclón usando un anticiclón, y todo lo que tienes es viento Quita el giro de un electrón usando un positrón, y todo lo que tienes es luz.

Y en cualquier caso, si el electrón no fuera una partícula puntual, eso causaría todo tipo de problemas.

No hay evidencia de que la evidencia sea una partícula puntual. El campo del electrón es lo que es. Decir que es una partícula puntual causa todo tipo de problemas, como la renormalización.

Finalmente, no hay un "eje de rotación" definido para el giro, porque los tres componentes del momento angular del giro no se conmutan entre sí.

Así es, no hay un eje de rotación definido. Pero eso no significa que no haya rotación. Si realmente no hubiera rotación, el electrón no tendría un momento dipolar magnético .

Pero mi pregunta es, ¿se puede relacionar el giro con una tasa de cambio de cualquier cosa con respecto al tiempo? Es posible que el giro no esté relacionado con la rotación en R3, pero ¿podemos relacionarlo con una rotación u otro tipo de movimiento en algún otro espacio, posiblemente un espacio no euclidiano? Puede tomar 720 grados para "girar" completamente un electrón, pero ¿hay realmente un período de tiempo en el que "gira" o hace algo más en 720 grados?

Es solo una doble rotación. No es algo mágico y misterioso. Vea este artículo y esta imagen de Martin van der Mark:

Para decirlo de otra manera, si una partícula tiene un estado de espín fijo, ¿tiene algún sentido decir que la partícula está "haciendo" algo, o simplemente "tiene" una propiedad?

el primero El giro es real. Los electrones y los positrones no giran en círculos opuestos en un campo magnético debido a algún tipo de magia juju. Sino porque cada uno es un espinor dinámico. El positrón tiene la quiralidad opuesta al electrón.