Diferentes definiciones de espinores

Está un poco confundido por la redacción en Cohen-Tannoudji et al. Es decir, no es la función $[\varphi]: \mathbf R^3 \to \mathbf R^2$que se llama espinor, es su valor en un punto particular, los dos números$[\varphi](\mathbf r)\in\mathbf C^2$. Así que un espinor ni siquiera es un elemento de$L^2(\mathbf R^3)\times L^2(\mathbf R^3)\equiv L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathbf C^2$: es sólo un elemento de$\mathbf C^2$! Es incluso más simple de lo que crees. La función$[\varphi]$se denomina entonces correctamente función de onda con valores de espinor , a diferencia de las funciones de onda con valores escalares más comunes .

^{Sin embargo, en la mecánica cuántica, la gente todavía llama con frecuencia a estos objetos espinores y no funciones de onda con valores de espinores. Es más corto y más cómodo, pero hay que tener en cuenta que no es más que un abuso de terminología . De lo contrario, lo morderá más adelante en la teoría de campos, donde tendrá campos de espinores (espinores especificados en cada punto del espacio (tiempo)) en el mismo sentido que el vector potencial$\mathbf A(\mathbf r)$es un campo vectorial. La teoría de campos ni siquiera tiene que ser cuántica : la clásica servirá.}

Ahora que entendemos que un espinor son dos números, ¿por qué tanto alboroto matemático? Hay una buena razón para ello. De hecho, son dos números, pero no solo dos números; pensar en ello como dos números no te ayudará a entender lo que está pasando. Por ejemplo, un vector son tres números, pero no son los tres números que imaginas cuando hablas de vectores: son flechas en el espacio (euclidiano). Las flechas tienen sentido ya sea que elija dibujar un sistema de coordenadas en el espacio o no. Y, por ejemplo, asociado con cada flecha hay una longitud, un número que también tiene sentido independientemente de cualquier sistema de coordenadas que pueda tener o no.

Pero si tienes uno,$K$, puede describir cualquier vector con tres números: por ejemplo,$(x\;y\;z)$. Si tienes uno más,$K'$, puedes obtener tres números diferentes ,$(x'\;y'\;z')$. Algunos números son más iguales que otros:* “longitud de$\mathbf v$” tiene sentido en ausencia de un sistema de coordenadas, pero “el$x$coordenada de$\mathbf v$" no. Sin embargo, una vez que tenga las coordenadas de un vector en un sistema particular$K$, puedes decir cuáles serán en cualquier otro$K'$, consistentemente : es decir, transformando de$K$a$K'$y luego de$K'$a$K''$es lo mismo que transformarse de$K$a$K''$directamente. Y la transformación es lineal.

Sabemos la razón de esto, por supuesto: estas son solo flechas en el espacio, por lo que la consistencia es obvia. Sin embargo, supongamos que nos olvidamos de las flechas y mantenemos solo las coordenadas. Entonces podríamos inferir la existencia de las flechas geométricas del hecho de que tenemos esas reglas de transformación algebraica. Ahora generalice y diga que cualquier conjunto consistente de reglas define un objeto geométrico. (Mantenga la linealidad por conveniencia.) ¿En qué otros objetos podemos pensar? Bueno, los seis números$(x_1\;y_1\;z_1\;x_2\;y_2\;z_2)$obtenido de cualquiera de los dos vectores$\mathbf v_1$y$\mathbf v_2$, pero esto es bastante obvio, por lo que nos gustaría considerar cosas que no se construyen a partir de otras más simples como esa. Una rotación se ve bien: tiene sentido geométrico y, al mismo tiempo, se describe mediante (nueve) números convenientemente dispuestos en una matriz. (Se transforma como$A' = SAS^{-1}$cuando$v' = Sv$, por supuesto.) Resulta que hay una manera conveniente de hablar sobre todos estos objetos que se comportan bien.

¿Qué tiene esto que ver con la mecánica cuántica? Todo. Si el estado de una partícula en cada punto$\mathbf r$en el espacio se describe mediante un número complejo$\psi(\mathbf r)$, este número, por supuesto, no cambia bajo una transformación de coordenadas. El espacio de Hilbert es$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)$. Pero, ¿y si hay más de un grado de libertad "interno" en cada punto? Decir$2s+1$¿de ellos? Entonces$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathscr I$y ahí está el espacio “interno”$\mathscr I =\mathbf C^{2s+1}$. Tienen que (1) mezclarse entre sí bajo una transformación de coordenadas; de lo contrario, son solo varias partículas simples agrupadas, no una compleja. Mezcle (2) consistentemente, (3) linealmente y (4) la norma de la función de onda no cambia. Aquí tienes, una representación irreducible (1) unitaria (4) lineal (3) (2) del grupo de rotación$\mathrm{SO}(3)$en$\mathscr I$. La teoría de la representación te dice que hay una de esas representaciones para$s = 0, 1, 2,\ldots$y así sucesivamente, pero no para$s=1/2$! ¿Dónde están los espinores?

Resulta que nos hemos perdido un punto sutil pero crítico. No te quitas las hachas de repente y las vuelves a poner de otra manera: las cambias continuamente . Los grados de libertad internos$\mathscr I$necesitan transformarse de cierta manera dado un proceso de rotación, no solo sus "puntos finales". Pero si deformo este proceso mientras mantengo fijos los puntos finales, es mejor que el resultado siga siendo el mismo. Ahora bien, ¿pueden todos los procesos de rotación con puntos finales fijos transformarse entre sí? Si es así , entonces no hemos ganado nada. Pero resulta que la respuesta es no : no hacer nada es lo mismo que girar dos veces alrededor de un eje fijo, pero no es lo mismo que girar una vez .

^{¿Por qué dos veces? Fácil. Girar (continuamente) 360° alrededor del eje en cuestión, y luego 360° alrededor del eje que apunta en la dirección opuesta: esta es manifiestamente la identidad. Gira 360° alrededor del eje dado y luego 360° alrededor de él nuevamente: esta es la rotación de 720°. ¡Pero los dos procesos pueden deformarse uno en otro moviendo el eje de la segunda rotación de 360°!}

La charla sobre procesos sugiere fuertemente una imagen de integración a lo largo de una "curva en el espacio de rotación". La matemática relevante es la teoría de las álgebras de Lie . Y lo que necesitas no es una representación del grupo.$\mathrm{SO}(3)$de rotaciones “grandes”, sino una representación del álgebra$\mathfrak{so}(3)$de unos “infinitesimales”. [ A esto se refieren los físicos cuando hablan de “generadores (infinitesimales) de un grupo”.] Y, como hemos visto, hay más . Más precisamente, aparte de los que tienen$s = 0,1,2,\ldots$también obtienes uno para cada uno de$s = 1/2,3/2,\ldots$. También resulta que los operadores de momento angular (conservado) están estrechamente relacionados con el álgebra de Lie de la simetría asociada , que son las rotaciones de las que hemos estado hablando todo el tiempo.

^{En una teoría relativista, la simetría relevante es el álgebra de Lorentz más grande$\mathfrak{so}(3,1)$, por lo que los espinores relativistas tienen cuatro componentes, al igual que los cuatro vectores. En once dimensiones, los vectores tienen once componentes pero los espinores tienen treinta y dos . Así que no siempre son “más pequeños”.}

Finalmente, ahora que hemos recuperado los espinores, ¿qué pasa con las álgebras de Clifford y los grupos de espines? Recuerde dos procesos de rotación no equivalentes entre cada par de puntos finales en$\mathrm{SO}(3)$? Resulta que siempre hay dos de ellos en$\mathrm{SO}(n)$para$n\ge 3$, por lo que podemos ver cómo estos procesos componen el módulo de las equivalencias . (Para componer dos procesos, haz el primero y luego el segundo.☺) El resultado (por$n\geq 3$, y de manera similar para los grupos de Lorentz) es exactamente$\mathrm{Spin}(n)$. No estoy al tanto de una motivación simple ^† para la conexión con las álgebras de Clifford [¡las ediciones son bienvenidas!], pero llegarás allí una vez que entiendas la imagen del álgebra de Lie. Las álgebras de Clifford en sí mismas son objetos bastante simples, de hecho, y pueden motivarse fácilmente tomando la raíz cuadrada del Laplaciano ; simplemente no está claro por qué obtienes espinores de esta manera.

^{* Granja de animales , por supuesto.
† Más precisamente, no sé por qué los elementos cuadráticos del álgebra de Clifford forman una representación del álgebra ortogonal correspondiente. Aparte de "simplemente calcularlo", eso es.}

Puede escribir su función de onda con valor de espinor como:

Sin embargo, tal formulario podría no capturar claramente la acción bajo una rotación. Por ejemplo, eligió una base específica para escribirlo así.

Si, en cambio, comenzó con un álgebra de Clifford, sus puntos ya podrían ser vectores y su campo podría tener un valor escalar, un valor vectorial o incluso un valor multivectorial (tome valores que sean cualquier multivector o cualquier elemento del álgebra de Clifford).

¿Por qué es eso una ventaja? Cuando dices cómo haces algo con tus partes y sabes lo que hacen tus partes, entonces lo que haces es lo que hiciste.

Entonces, si tiene un bivector de referencia como$e_1e_2$para dos vectores espaciales ortogonales$e_1$y$e_2$entonces su espinor podría ser un multivector que impulsa y gira ese plano espacial de referencia para describir cualquier plano en cualquier hiperplano espacial.

Entonces, su espinor podría ser un producto de vectores en el espacio-tiempo 4d, un número par de vectores que están continuamente conectados entre sí. Porque esas son las rotaciones. Y la clave es que, dado que construyes el espinor a partir de vectores a través de la multiplicación, sabes exactamente cómo actúa.