¿Cómo opero en un estado de giro con un operador sigma?

Aplicación 1:

Es el$z$-componente del momento angular de valor vectorial observable para un giro$\frac{1}{2}$partícula, cuando los estados base son los$z$Estados propios del momento angular de la componente. Si esto suena un poco circular y tautológico, es la razón por la cual$\sigma_z$es diagonal _

Entonces el$n^{th}$momento de la distribución de probabilidad de una medida de momento angular en el$z$la direccion es$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_z^n| s\rangle$.

No en vano, el$n^{th}$momentos de las distribuciones de probabilidad de una medida de momento angular en el$x$y$y$las direcciones son$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_x^n| s\rangle$y$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_y^n| s\rangle$, respectivamente.

Aplicación 2:

Cuando se rota la base del espacio de Minkowski (o euclidiano), nuestras coordenadas espaciales$\vec{x}$transformar de acuerdo con la regla$\vec{x}\mapsto R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\vec{x}$, donde la matriz de rotación es:

$$R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)=\exp\left(\theta\left(i\,\gamma_x\,S_x+\gamma_y\,S_y+\gamma_z\,S_z\right)\right)\tag{1}$$

dónde$\theta$es el ángulo de rotación y$\gamma_i$los cosenos directores del eje de rotación. El grupo que actúa sobre los vectores espaciales es$SO(3)$y los vectores base de su álgebra de Lie son:

$$i\,S_x = \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right);\quad i\,S_y = \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}\right);\quad i\,S_z = \left(\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\tag{2}$$

Mientras hacemos esto, el estado de espín cuántico$\psi$, cuando se expresa como$2\times 1$vector de columna en el$z$base del estado propio del momento angular de la componente como lo hicimos en la aplicación 1, se transforma por la imagen de$R$bajo una representación proyectiva o spinor (discutida en mi respuesta aquí ) como$\psi\mapsto\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\psi$dónde:

$$\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z) = \exp\left(i\,\frac{\theta}{2}\left(\gamma_x\,\sigma_x+\gamma_y\,\sigma_y+\gamma_z\,\sigma_z\right)\right)\tag{3}$$

Aplicación 3:

si un giro$\frac{1}{2}$partícula con un momento magnético está inmersa en un campo magnético clásico con componentes de inducción$B_j$, entonces el operador de evolución temporal en el estado cuántico discutido en la Aplicación 1 se define por:

$$\psi(t) = \exp\left(i\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)\,t\right)\,\psi(0)\tag{4}$$

dónde$g$es la relación giromagnética de la partícula. Así que el hamiltoniano aquí es$\hat{H}=-i\,\hbar\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)$

Esfera Bloch

La Esfera de Bloch es una representación no inyectiva (aquí se pierde la información del factor de fase común) de nuestro estado cuántico$\psi$en el espacio tridimensional euclidiano cotidiano. Los operadores de la forma en (3) o (4) viven en el grupo$SU(2)$. Una buena manera de hacer análisis de vectores en 3 dimensiones es representar un vector con coordenadas cartesianas$x,\,y,\,z$como la matriz en el álgebra de Lie de todos$2\times 2$Matrices sesgadas-hermitianas:

$$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto \tilde{X}=-i\,(x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z)\tag{5}$$

Entonces la acción de una rotación puede describirse de manera equivalente por$X\mapsto\,R\,X$o por el llamado mapa de spinor$\tilde{X}\mapsto\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^{-1}=\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^\dagger$dónde$R$y$\Sigma$son los operadores en (1) y (3), respectivamente. Una ventaja de esto es que el producto vectorial vectorial se convierte en el corchete de Lie y luego el producto interno es simplemente el producto interno de trazas (Frobenius). Volviendo al revés: si está dispuesto a ignorar los términos de fase constante en el estado cuántico en la Aplicación 1, entonces el estado cuántico puro puede representarse por su$2\times 2$matriz de densidad$\rho=\psi\,\psi^\dagger$. Cuando los estados cuánticos se transforman unitariamente como en (3) o (4), la matriz de densidad experimenta el mapa de espinor$\rho\mapsto\Sigma\,\rho\,\Sigma^\dagger$, entonces, pensando en (5) hacia atrás, podemos representar la matriz de densidad como un vector de tres componentes cartesianos y experimentará una rotación rígida correspondiente. Entonces, el espacio de las matrices de densidad se asigna a la esfera 2 mediante este proceso. De hecho, calculas las componentes cartesianas del punto en la esfera a través de:

$$x_j=\psi^\dagger\,\sigma_j\,\psi=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma_j\,\rho)\tag{6}$$

Puede ver en (6) que cualquier factor de fase común$e^{i\,\phi}$multiplicando$\psi$no cambiará el punto en la esfera de Bloch. Hablo más sobre la esfera de Bloch, llamada esfera de Poincaré en Óptica, en esta respuesta aquí .

$\vert+\rangle$y$\vert-\rangle$en realidad son solo notaciones abreviadas para los dos vectores propios del operador de espín diagonal$\sigma_z$. Esto significa concretamente:

$$\vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\vert-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Por lo tanto, la acción del operador sigma te da simplemente el valor propio correspondiente:

$$\sigma_z \vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =+1 \vert+\rangle$$

$$\sigma_z \vert-\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =-1 \vert+\rangle$$

Este es un resultado general en Mecánica Cuántica, independiente de cualquier aplicación en el contexto de la física del estado sólido o similar.

$\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}$Un estado de espín arbitrario$\ket{s}$puede descomponerse como una suma de$\ket{+}$y$\ket{-}$estados propios:

$$\ket{s} = \alpha \ket{+} + \beta \ket{-}$$ Dónde $\alpha$y $\beta$son números complejos. Escribiremos el vector general como: $$\ket{s} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$ Donde recordamos que el primer elemento significa el $\ket{+}$componente y el segundo significa el $\ket{-}$. En esta base, las matrices de Pauli tienen una forma estándar: $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix}$$ El producto $\sigma_z \ket{s}$ahora es solo una cuestión de multiplicación matriz-vector.