Rotaciones de la matriz de Pauli

Como mencionó TMS, si juega con las propiedades de la matriz de Pauli y las fórmulas trigonométricas de doble ángulo, debería obtener un buen resultado. (Por supuesto, lo que significa "agradable" puede depender de para qué lo vaya a usar).

Sin embargo, encuentro útil dar un paso atrás y dejar que la naturaleza geométrica del objeto con el que estás tratando tome las riendas. ¿Cómo haría esto? A menudo son los detalles de la formulación los que te atascan y es mejor generalizar un poco la configuración. Así, en particular, considere la expresión libre de marco de referencia

$$e^{-i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} \, \vec{a}\cdot\vec{\sigma} \, e^{i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2}$$ dónde $\hat{n}\cdot\hat{n}=1$. Debe aplicar la identidad que menciona y la propiedad que $$(\vec{a}\cdot\vec{\sigma})(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})=\vec{a}\cdot\hat{n}+i\vec{\sigma}\cdot(\vec{a}\times\hat{n}),$$ así como fórmulas de doble ángulo y un triple producto vectorial (es decir, nada intimidante).

Definitivamente es un ejercicio que vale la pena trabajar en eso; el resultado es

$$e^{-i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} \, \vec{a}\cdot\vec{\sigma} \, e^{i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} = \left[ \hat{n}(\hat{n}\cdot \vec a)+ \cos(\theta)(\vec{a}-\hat n(\hat n\cdot \vec a)) +\sin(\theta)\hat{n}\times\vec{a} \right]\cdot\vec{\sigma}.$$ Aquí el vector entre corchetes es el rotado: $\vec{a}$girado por ángulo $\theta$alrededor de la unidad $\hat{n}$. (Para ver lo que hace cada término, simplemente tome $\hat n$a lo largo de $z$eje; los términos coseno y seno luego describen los términos dentro y fuera de la diagonal del $x,y$submatriz.)

No estoy seguro de qué tipo de atajo está buscando o si esto es útil en ese sentido. Solo quiero decir que, a veces, retroceder a una mayor generalidad puede aliviar la carga computacional, o al menos aclarar lo que está sucediendo.

Para las personas que les gustan las matemáticas:

El Lema de Hadamard dice lo siguiente:

Dejar$X$y$Y$sean matrices cuadradas y complejas, entonces

$$e^{X} Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2!}[X,[X,Y]] + \cdots.$$

Debería (en principio) poder usar esto para derivar cualquier expresión que obtenga.

Este lema también se puede escribir usando las operaciones$\mathrm{Ad}$y$\mathrm{ad}$llamados "adjuntos" que son importantes en la teoría de la representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (de hecho, todo este asunto del espín de la matriz de Pauli cae bajo este paraguas). Estas operaciones se definen como

$$\mathrm{Ad}_g(X) = g X g^{-1}, \qquad \mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]$$ Esta notación nos permite escribir el lema como $$\mathrm{Ad}_{e^X} = e^{\mathrm{ad}_X}$$