Rotaciones de autoestados de espín en QM

Question

Rotaciones de autoestados de espín en QM

usuario100411

Si tienes un estado $| \psi \rangle = | \uparrow \rangle$ que es el estado de espín del operador de espín $\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \hat{\sigma}_{z}$ entonces, si ve este estado como un vector en la esfera de Bloch, y está interesado en rotar el estado de giro por $\frac{\pi}{2}$ alrededor de $x$ eje, según tengo entendido aplicas el operador $\hat{U} = e^{-\frac{\pi}{2}\hat{\sigma}_x}$ , ¿obtendrías entonces

\hat{tu} | ↑ ⟩ = {mi}^{- \frac{π}{2} {\hat{σ}}_{X}} | ↑ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩ + \frac{i}{\sqrt{2}} | ↓ ⟩ ?

$\hat{U}| \uparrow \rangle = e^{-\frac{\pi}{2}\hat{\sigma}_x}| \uparrow \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}| \uparrow \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}| \downarrow \rangle?$

Gracias por cualquier ayuda.

por simetría

Creo que te falta un factor de

ı

$\imath$ en tu expresión para

U

$U$ . ¿Has probado a calcular

U | ↑ ⟩

$U|\uparrow\rangle$ ¿directamente?

usuario100411

@BySymmetry Sí, eso fue un error tipográfico. Te refieres a expandir

e^{. . .}

$e^{...}$ ?

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Rotaciones de autoestados de espín en QM

Creo que te falta un factor de $\imath$ en tu expresión para $U$ . ¿Has probado a calcular $U|\uparrow\rangle$ ¿directamente?
@BySymmetry Sí, eso fue un error tipográfico. Te refieres a expandir $e^{...}$ ?

ZeroTheHero · Answer 1

La forma más sencilla es expandir la exponencial, usando $\sigma_x=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ y recordando que $\sigma_x^2=1_{2\times 2}$ . De este modo

\begin{aligned} {mi}^{- i θ σ_{X}} & = 1_{2 \times 2} - i θ σ_{X} + \frac{1}{2} (- 1) θ^{2} 1_{2 \times 2} + \frac{1}{3!} i θ^{3} σ_{X} + \dots, \\ = 1_{2 \times 2} (1 - \frac{1}{2} θ^{2} + \dots) - i σ_{X} (θ - \frac{1}{3!} θ^{3} + \dots), \\ = 1_{2 \times 2} porque θ - i σ_{X} pecado (θ), \\ = (\begin{array}{cc} porque (θ) & - i pecado (θ) \\ - i pecado (θ) & porque (θ) \end{array}) . \end{aligned}

$\begin{align} e^{-i\theta \sigma_x}&= 1_{2\times 2}-i\theta\sigma_x +\frac{1}{2} (-1)\theta^2 1_{2\times 2} +\frac{1}{3!}i\theta^3\sigma_x+\ldots\, ,\\ &=1_{2\times 2}\left(1-\frac{1}{2}{\theta^2}+\ldots\right)-i\sigma_x \left(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\ldots\right)\, ,\\ &=1_{2\times2}\cos\theta-i\sigma_x\sin(\theta)\, ,\\ &=\left( \begin{array}{cc} \cos (\theta ) & -i \sin (\theta ) \\ -i \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \\ \end{array} \right)\, . \end{align}$ El resultado que está buscando sigue usando

θ = π / 4

$\theta=\pi/4$ ( NO

θ = π / 2

$\theta=\pi/2$ ) y actuar sobre

| ↑ ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\vert\uparrow\rangle=\left(\begin{array}{c}1\\0 \end{array}\right)$ . Usando

θ = π / 2

$\theta=\pi/2$ rendimientos

i | ↓ ⟩

$i\vert\downarrow\rangle$ .

Puede ser que la discrepancia entre mi resultado y el tuyo venga en la definición de $\sigma_x$ , que a veces se confunde con $S_x=\sigma_x/2$ .

Ok gracias por una muy buena respuesta. Solo dos cosas rápidas: en primer lugar, al considerar $\theta = \frac{\pi}{4}$ ahora entiendo $e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_x}| \uparrow\rangle = e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_x}\dbinom{1}{0} = \dbinom{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{i}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}| \uparrow \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}| \downarrow \rangle$ . Por lo tanto, tengo razón al afirmar que hemos rotado $| \uparrow \rangle$ al estado propio correspondiente al estado propio de spin down de $\hat{S}_y$ ?
Por último, considerando dos partículas giratorias, ¿sería esto correcto? ${mi}^{- i \frac{π}{4} σ_{X_{1}}} {mi}^{- i \frac{π}{4} σ_{X_{2}}} [| ↑ ⟩ \otimes | ↑ ⟩] = [\frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩ - \frac{i}{\sqrt{2}} | ↓ ⟩] \otimes [\frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩ - \frac{i}{\sqrt{2}} | ↓ ⟩] = \frac{1}{2} | ↑ ⟩ \otimes | ↑ ⟩ - \frac{i}{2} | ↑ ⟩ \otimes | ↓ ⟩ - \frac{i}{2} | ↓ ⟩ \otimes | ↑ ⟩ - \frac{1}{2} | ↓ ⟩ \otimes | ↓ ⟩ ?$ $e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_{x_1}}e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_{x_2}}[|\uparrow \rangle \otimes |\uparrow \rangle ] = [\frac{1}{\sqrt{2}}| \uparrow \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}| \downarrow \rangle] \otimes [\frac{1}{\sqrt{2}}| \uparrow \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}}| \downarrow \rangle] \\= \frac{1}{2} | \uparrow \rangle \otimes | \uparrow \rangle - \frac{i}{2}| \uparrow \rangle \otimes | \downarrow\rangle -\frac{i}{2}| \downarrow \rangle \otimes | \uparrow \rangle - \frac{1}{2}| \downarrow \rangle \otimes | \downarrow \rangle?$

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usuario100411

por simetría

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