Estados de triplete, estados de Dicke y estados simétricos de spin-1

Esto no se generaliza tan fácilmente, aunque hay casos especiales.

Si estás mirando el$n$-plegar el acoplamiento de la representación fundamental de cualquier$SU(n)$grupo, puede utilizar la dualidad de Schur-Weyl y deducir inmediatamente la simetría de los estados resultantes de la simetría de la representación dual del grupo simétrico. Para$SU(2)$ver esta respuesta relacionada a esta pregunta .

Al acoplar 2 momentos angulares idénticos, la simetría de permutación se puede deducir de la simetría del coeficiente de Clebsch-Gordan correspondiente :

$$\begin{align} C^{LM}_{\ell_1m_1;\ell_2m_2}=(-1)^{\ell_1+\ell_2-L}C^{LM}_{\ell_2m_2;\ell_1m_1} \end{align}$$ Así, en su ejemplo, el acoplamiento de dos$\ell_1=\ell_2=\ell$Los estados de momento angular serán simétricos si$2\ell-L$es par y antisimétrico si$2\ell-L$es impar. Esto se aplica a cualquier valor de$\ell$.

La estrategia se mantendría para dos irrepeticiones cualesquiera de cualquier cosa, pero los CG no están tan fácilmente disponibles, por lo que no es una ruta práctica.

Para el acoplamiento de múltiples$\ell=1$estados, uno puede usar el truco de Schur-Weyl porque el$\ell=1$estados son una base para la representación fundamental de$(1,0)$(o$\mathbf{3}$) de$SU(3)$. Entonces el doble acoplamiento producirá el$SU(3)$irresponsables$(2,0)\oplus (0,1)$y las reglas de bifurcación dan

$$\begin{align} (2,0)\downarrow L=2\oplus L=0\, ,\qquad (0,1)\downarrow L=1 \end{align}$$ Así, los estados en$(2,0)$son simétricas y estados en$(0,1)$antisimétrico Elliott derivó originalmente las reglas de ramificación para la energía nuclear.$\mathfrak{su}(3)$modelo. Parece que

Elliott, JP, 1958. Movimiento colectivo en el modelo de capa nuclear. I. Esquemas de clasificación para estados de configuraciones mixtas. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas, 245(1240), pp.128-145

se ocupa de esto, pero mirando hacia atrás en el artículo de Phil Elliott de esa época, seguramente encontrará lo que está buscando.

Uno puede continuar de esta manera para las partículas, lo que produce

$$\begin{align} (3,0)\oplus (1,1)\oplus (1,1)\oplus (0,0) \end{align}$$ con$(3,0)\downarrow L=3\oplus L=1$la parte simétrica,$(0,0)\downarrow L=0$totalmente antisimétrica, y ambas copias de$(1,1)\downarrow L=2\oplus L=1$de simetría mixta.

En general, la descomposición de estos tipos en irreps de simetrías específicas requiere la noción de pletismo y funciones de Schur. Una revisión razonable que trata algunos aspectos de esto es

Rowe, DJ, Carvalho, MJ y Repka, J., 2012. Emparejamiento dual de simetría y grupos dinámicos en física. Reseñas de Física Moderna, 84(2), p.711.

La idea básica es usar una regla de sustitución en las funciones de Schur para un grupo más grande de modo que se pueda explotar la dualidad de Schur-Weyl. El ejemplo de descomponer varias copias de un$\ell=1$estados pasando a múltiples copias de la fundamental de$SU(3)$es un ejemplo de este tipo de procedimiento. Esta maquinaria requiere la expansión de un polinomio (generalmente bastante largo) y no es fácil de hacer a mano.