¿Por qué surge el espín en la mecánica cuántica no relativista?

En la mecánica cuántica, la$\overrightarrow L$operador y los observables asociados$L^2$y$L_z$ya existía en QM no relativista. Las funciones propias de$L^2$y$L_z$son los armónicos esféricos y los valores propios son$\hbar^2l(l+1)$y$\hbar m$respectivamente. los valores de$l$puede ser entero (correspondiente a los armónicos esféricos) y medio entero (correspondiente a una solución divergente de la ecuación diferencial). Dado un valor de$l$, los valores permitidos de$m$Fué de$-l$a$l$en pasos enteros, totalizando$2l+1$degeneración.

Puede utilizar el hecho de que los observables experimentales están relacionados con los operadores de momento angular. En particular, la energía de un dipolo en un campo magnético es proporcional a$L_z$. Cuando se realizaron experimentos con hidrógeno, observaron una serie de efectos que sugerían que los electrones tenían espín. En primer lugar, los electrones ocuparon los orbitales de hidrógeno (y los orbitales de otros átomos) en pares. El principio de exclusión de Pauli prohíbe que los electrones ocupen el mismo estado, pero si agregas un nuevo número cuántico con dos estados, puedes explicar el comportamiento de la tabla periódica. Los experimentos con hidrógeno en campos magnéticos mostraron que los niveles de energía divergían. Hubo el comportamiento esperado de carga en movimiento creando un dipolo magnético. Esto produjo divisiones extrañas en los niveles de energía (como se esperaba para los electrones en movimiento en estados armónicos esféricos). Pero también hubo división de los estados de energía que produjeron un efecto parejo. Un último efecto que vale la pena mencionar y que realmente demuestra que los electrones tienen un espín intrínseco.$\frac{1}{2}\hbar$es que si envía un haz de rayos catódicos a través de un campo magnético, se dividirá en dos haces en la dirección del campo magnético, lo que indica que el electrón era un dipolo magnético con solo dos estados de espín.

Estas y algunas otras observaciones llevan a los físicos a la conclusión de que los electrones tienen un momento angular intrínseco de magnitud$\frac{1}{2}\hbar$.

La relación entre el "momento angular orbital" y el "giro intrínseco" es interesante.

Asumiré que sabes algo sobre la teoría de la representación. Un buen lugar para comenzar es aquí .

Piensa en el hamiltoniano del átomo de hidrógeno.

Descontando el espín, la función de onda de un electrón (en la base de la posición) es solo una función$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. El grupo de rotaciones en tres dimensiones,$SO(3)$, actúa naturalmente sobre funciones de esta forma. Es decir, para una matriz$R \in SO(3)$, la acción está dada por

(Lo contrario es necesario porque$SO(3)$no es abeliana.) En mi ecuación anterior,$U$es un mapa que toma elementos de$SO(3)$, que son matrices ortogonales especiales$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, a elementos que actúan sobre nuestro espacio de estados. Si llamamos a nuestro espacio de estado$\mathcal{H}$, después$U(R) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Es más$U(R)$es unitario porque$U(R) \psi$tiene la misma norma que$\psi$.

Esto es, por supuesto, una representación de$SO(3)$en nuestro espacio de estado. No sorprende que la teoría de la representación sea tan importante en la mecánica cuántica. Los espacios de estado en mecánica cuántica son espacios vectoriales. Cuando un grupo actúa sobre un espacio de estados, por lo tanto actúa sobre un espacio vectorial. ¡Esto es todo lo que es la teoría de la representación!

Aquí está lo interesante: para todos$R \in SO(3)$, tenemos

En otras palabras, el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones.

Ahora,$U$es una representación, pero no es una representación irreductible . Podemos romper el espacio vectorial$\mathcal{H}$en subespacios tales que$U(R)$actúa como una representación irreducible en cada subespacio. Llamaremos a estos subespacios$\mathcal{H}_n$.

El hecho de que$[\hat H, U(R)] = 0$tiene dos consecuencias importantes (que supongo que no son realmente distintas).

1. Si$\psi$es un estado de energía definido con energía$E$, después$U(R) \psi$es también un estado de energía definido con energía$E$. Esto se puede ver a través del siguiente cálculo simple:

   $$\hat H U(R) \psi = U(R) \hat H \psi = U(R) E \psi = E U(R) \psi$$

   Esto también significa que después de la evolución en el tiempo, un estado vive en una representación irreductible particular y luego, después de la evolución en el tiempo, seguirá estando en esa misma representación. Si un estado vive en una representación particular$\psi \in \mathcal{H}_n$después$U(R) \psi \in \mathcal{H}_n$también. Que los estados en una representación después de la evolución en el tiempo se deducen del hecho de que la evolución en el tiempo viene dada por los operadores$e^{-i \hat H t / \hbar}$.

2. $\hat H$debe actuar como una constante en cada$\mathcal{H}_n$. En otras palabras, todos los vectores en cada subespacio irreducible$\mathcal{H}_n$todos deben ser vectores propios de$\hat H$con el mismo valor propio. Así que todos los vectores en$\mathcal{H}_1$son vectores propios de$\hat H$con el valor propio$E_1$, todos los vectores en$\mathcal{H}_2$son vectores propios de$\hat H$con el valor propio$E_2$, etc. Este es solo el lema de Schur.

Es posible que ahora se esté preguntando, "bueno, eso es genial, pero ¿cuáles son las representaciones irreductibles de$\mathcal{H}$? Qué son$\mathcal{H}_n?$La respuesta es que las representaciones irreducibles de nuestro espacio de estados son solo los armónicos esféricos (multiplicados por la función radial apropiada para convertirlos en estados propios de energía).

Esto no es sorprendente. Si toma alguna combinación lineal de armónicos esféricos de un determinado$l$

y rotar los argumentos, todo lo que cambiará son los$a_i$'¡s! Esto es lo que son los armónicos esféricos . Esta es la forma más fácil de ver que son representaciones de$SO(3)$.

Así que bien. Retrocedamos. Las representaciones de nuestro espacio de estados se descomponen en estos armónicos esféricos, que serán los espacios propios de nuestro operador de energía.

Resulta que las representaciones irreductibles de$SO(3)$se puede etiquetar con un número impar que es la dimensión de la representación. Para$\mathcal{H}$, cada una de estas representaciones irreductibles está presente exactamente una vez sin repeticiones. El espacio propio de energía más baja será la representación trivial. El próximo espacio propio será tridimensional. El siguiente será de 5 dimensiones, y así sucesivamente. usted puede reconocer$1, 3, 5, 7, \ldots$como el número de electrones en cada suborbital de un átomo. (¡Bueno, multiplícalos por 2 para tener en cuenta la degeneración del giro!)

Bien, eso explica por qué las representaciones de$SO(3)$debe ser importante en la mecánica cuántica. Permítanme ahora explicar lo que esto tiene que ver con el momento angular.

El operador$\hat L^2$también viajará con$U(R)$. Así que la historia que hemos inventado sobre lo que sucede cuando$\hat H$viaja con$U(R)$se aplicará aquí, también.

Pero en realidad, hay más. No por casualidad,$\hat L_x$,$\hat L_y$y$\hat L_z$son los generadores de$U(R)$(en el sentido del álgebra de Lie). Eso es,

es una rotación alrededor del$x$-eje por un ángulo$\theta$, y así.

Entonces, después de toda esa exposición, esto es lo que tiene que ver el momento angular orbital con el giro:$SO(3)$en sí mismo es sólo una representación de$SU(2)$. (Es la representación de giro 1). Por lo tanto, cualquier sistema con un$SO(3)$la simetría se va a romper como lo haría si tuviera un$SU(2)$simetría. Las relaciones de conmutación de$\hat L_i$son los mismos que para el álgebra de Lie de$SU(2)$. Para resumir: son cosas muy similares.

Supongo que me desvanecí al final, pero espero que haya ayudado.

QM no especialmente relativista es, para una partícula libre, invariante de Galilei. Spin aparece como uno de los Casimiros del álgebra de Galilei cuando está representado por operadores esencialmente autoadjuntos en su dominio Gårding en un inf-dim separable. Espacio de Hilbert. El trabajo de Bargmann (1954) y Levy-Leblond en la década de 1960 debería explicarse por sí mismo (para obtener más detalles, consulte otra respuesta a continuación).

Lamento que mi respuesta inicial haya sido breve. Puedo expandirme ahora: la primera explicación teórica de la noción de espín cuántico fue en el contexto de la relatividad especial (Dirac 1928 - dos artículos en PRSL). Fue solo después de que la teoría de grupos a través del trabajo de Hermann Weyl y Eugene Wigner se estableció como el entorno matemático natural para tratar las simetrías en la Mecánica Cuántica que las personas cuestionaron las simetrías fundamentales del espacio-tiempo. Dado que QM es inherentemente no especialmente relativista, solo en 1954 (dentro de un contexto más amplio) el primer análisis de las representaciones proyectivas del grupo de Galilei fue realizado por Valja Bargmann ( http://www.jstor.org/stable/1969831). Luego fue el trabajo de George Mackey quien estableció los fundamentos matemáticos correctos para el trabajo de Bargmann (una serie de artículos) y por último, pero no menos importante, el artículo de Levy-Leblond "Galilei Group and Nonrelativistic Quantum Mechanics" (Journal of Mathematical Physics, Volumen 4, Número 6, p.776-788, 10.1063/1.1724319) que aborda en particular la explicación teórica del espín cuántico.