Rotación de un sistema spin-1/2

Question

Rotación de un sistema spin-1/2

Virtud

El hamiltoniano de un sistema de espín 1/2 en un campo magnético $\mathbf{B} = B \hat{\mathbf{n}}$ es

\hat{H} = - \frac{mi}{metro C} \hat{σ} \cdot B

$\begin{equation}\hat{H} = - \frac{e}{mc} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \mathbf{B} \end{equation}$

dónde $\hat{\mathbf{n}}$ es un vector arbitrario y $\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ el vector de matrices de Pauli, es decir $\hat{\boldsymbol{\sigma}} = (\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ .

Ahora el problema es encontrar los autoespinores del hamiltoniano.

Mi primera idea (que funciona bien) fue considerar primero el sistema con $\hat{\mathbf{n}} = (0,0,1)$ :

\hat{σ} \cdot \hat{norte} = σ_{3}

$\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \sigma_3 \end{equation}$

En este caso, los eigenspinors son conocidos y al rotar el sistema es posible encontrar los eigenspinors para el sistema con arbitrariamente $\hat{\mathbf{n}}$ .

Más específicamente, un eigenspinor (antes de la rotación) es $\chi_+ = (1,0)$ y aplicando la rotación en SU(2):

{mi}^{- \frac{i}{ℏ} σ_{z} φ} {mi}^{- \frac{i}{ℏ} σ_{y} θ} x_{+} = (\begin{matrix} {mi}^{- i φ / 2} porque (θ / 2) \\ {mi}^{i φ / 2} pecado (θ / 2) \end{matrix})

$\begin{equation} e^{-\frac{i}{\hbar} \sigma_z \varphi} e^{-\frac{i}{\hbar} \sigma_y \theta}\chi_+ = \begin{pmatrix}e^{-i\varphi/2} \cos(\theta/2) \\ e^{i\varphi/2} \sin(\theta/2)\end{pmatrix} \end{equation}$ que es (hasta un factor de fase) el resultado de Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenspinor )

Otra forma es comenzar con un campo magnético arbitrario y luego calcular los vectores propios del hamiltoniano. Es decir, uno gira el vector $\hat{\mathbf{n}} = (0,0,1)$ tal que luego $\hat{\mathbf{n}} = (\cos \varphi \sin \theta, \sin \varphi \sin \theta,\cos \theta)$ . Al hacer esto, se encuentran los mismos autospinores.

Entonces veo que los resultados son los mismos, sin embargo, realmente no entiendo cómo se relaciona la rotación tridimensional (del espacio) con la bidimensional (del espinor). Sé que SU(2) es una doble cubierta de SO(3) pero no veo cómo se relacionarían formalmente los dos en el ejemplo anterior. Supongo que la respuesta está relacionada de alguna manera con el homomorfismo entre los grupos (o su álgebra de Lie), pero me confundí tanto que no puedo resolverlo.

Respuestas (1)

Rotación de un sistema spin-1/2

gentil · Answer 1

No veo cómo se relacionarían formalmente los dos en el ejemplo anterior

Dejar

\hat{σ} \cdot \underline{norte} = {norte}^{1} {\hat{σ}}_{1} + {norte}^{2} {\hat{σ}}_{2} + {norte}^{3} {\hat{σ}}_{3} = \hat{S} (θ, ϕ) {\hat{σ}}_{3}

$\hat{\sigma}\cdot{\underline{n}}= n^1\hat{\sigma}_1 + n^2\hat{\sigma}_2+n^3\hat{\sigma}_3 = \hat{S}(\theta,\phi)\hat{\sigma}_3$ es decir, cualquier combinación de matrices de Pauli siempre se puede escribir como el producto de otra matriz de Pauli por otro objeto en

S U (2)

$SU(2)$ . La matriz

\hat{S} (θ, ϕ)

$\hat{S}(\theta,\phi)$ es, en el caso que nos ocupa, el elemento

\hat{S} (θ, ϕ) = (\begin{matrix} {mi}^{- i ϕ / 2} porque (θ / 2) {mi}^{- i ϕ / 2} pecado (θ / 2) \\ {mi}^{i ϕ / 2} pecado (θ / 2) {mi}^{i ϕ / 2} porque (θ / 2) \end{matrix}) .

$\hat{S}(\theta, \phi) = \begin{pmatrix} e^{-i\phi/2}\cos(\theta/2)\quad e^{-i\phi/2}\sin(\theta/2)\\ e^{i\phi/2}\sin(\theta/2)\quad e^{i\phi/2}\cos(\theta/2) \end{pmatrix}.$ Ahora asociemos dos vectores en

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ a la ecuación anterior, uno en el lado izquierdo y otro en el lado derecho, a saber

({norte}^{1}, {norte}^{2}, {norte}^{3}) \mapsto (0, 0, {norte}^{' 3})

$(n^1, n^2, n^3)\mapsto(0,0,n'^3)$ ya que el lado derecho solo posee el

σ_{3}

$\sigma_3$ . Dejar

\hat{R} (θ, ϕ)

$\hat{R}(\theta, \phi)$ la matriz de transformación tal que

\hat{R} (θ, ϕ) ({norte}^{1}, {norte}^{2}, {norte}^{3}) = (0, 0, {norte}^{' 3}) .

$\hat{R}(\theta, \phi)\,(n^1, n^2, n^3) = (0,0,n'^3).$ Como tal, ahora tenemos dos objetos a nuestra disposición:

\hat{S} (θ, ϕ) \in S tu (2), \hat{R} (θ, ϕ) \in S O (3);

$\hat{S}(\theta, \phi)\in SU(2),\qquad \hat{R}(\theta,\phi)\in SO(3);$ el mapa

ρ : S \mapsto R

$\rho\colon S\mapsto R$ para cada par

(θ, ϕ)

$(\theta, \phi)$ es el mapa de cobertura doble deseado (se puede mostrar que ambos

S

$S$ y

- S

$-S$ corresponder al mismo

R

$R$ ).

Debido al argumento anterior multiplicando el $\sigma$ por $\hat{S}$ es equivalente a multiplicar $\underline{n}$ por $\hat{R}$ , es por eso que los valores propios son los mismos sin importar la multiplicación que realice primero.

No debería $\hat{S}(\theta, \phi)$ ser una matriz de 2x2? Así que tal vez algo como $\begin{pmatrix}e^{-i\varphi/2} \cos(\theta/2) & -e^{-i\varphi/2} \sin(\theta/2)\\ e^{i\varphi/2} \sin(\theta/2) & e^{i\varphi/2} \cos(\theta/2)\end{pmatrix}$
@Virft Oh, sí, por supuesto, olvidé agregar el lado derecho, ¡gracias: p!

Rotación de un sistema spin-1/2

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gentil

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